Contrôle corrigé 8: Dérivée et trinôme

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Pierre Paul Riquet à Toulouse. Notions abordées : Étude de la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré et dérivée d’une fonction rationnelle.

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Fonction polynôme du second degré.

1- Représenter dans un repère orthonormé une courbe passant par les points de coordonnées $(3,-1)$ et $(5,-1)$ et ayant un point culminant au point ayant pour ordonné $1$.
2- Facile de trouver le nom de la courbe.
L’équation de l’axe de symétrie est celle de la droite passant par le point culminant de la courbe et parallèle à l’axe des ordonnées.
Les coordonnées du sommets sont les coordonnées du point culminant de la courbe représentée.
3- Utiliser la formule de la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les coordonnées du sommet de la courbe représentative de $f$.
4- Utiliser le produit remarquable $(x-y)^2$ pour le développement puis réduire pour trouver l’expression de $f$ donnée.
5- Pour résoudre l’équation $f(x)=-7$; il faut trouver par équivalence une équation du second degré et la résoudre en utilisant le discriminant.
6- Pour résoudre l’inéquation $f(x)>-7$ il faut d’abord poser $f(x)=-7$ et déduire de la question précédente les solutions de cette équation, puis faire un tableau de signe en utilisant les racines de l’équation $f(x)=-7$. Déduire du tableau de signe la partie solution de l’inéquation$f(x)>-7$

Dérivée d’une fonction rationnelle

1- Poser le domaine de définition de la fonction en veillant que le dénominateur soit non nul, puis privé l’ensemble $\mathbb{R}$ de l’élément qui annule le dénominateur.
2- Utiliser la définition de la dérivabilité d’une fonction rationnelle pour l’explication, puis utiliser la formule: $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$ pour donner la dérivée de la fonction.
3- Supposer un réel $a$ abscisses d’un point en lequel la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale, puis retrouver les réels $a$ vérifiant la condition $f'(a)=0$

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