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Contrôle corrigé 16: Angles et statistiques

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Cours de mathématiques en ligne

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Marcelin Berthelot à Toulouse. Notions abordées: Détermination de l’équation d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction rationnelle, calcul de la mesure d’un angle orienté, preuve de trois points alignés en utilisant les angles orientés dans un triangle et détermination des caractéristiques d’une série statistique.

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Détermination de l’équation d’une tangente

1- Poser le domaine de définition sachant que le dénominateur d’une fonction rationnelle doit être non nul. Utiliser la dérivabilité d’une fonction rationnelle pour déterminer le domaine de dérivabilité puis calculer la fonction dérivée en utilisant la forme dérivée d’une fonction rationnelle:$ \left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$.
2- Chercher le coefficient directeur de la tangente sachant quelle est parallèle à la droite d’équation $y=4x+2$. Utiliser le nombre dérivée $f'(x_0)$ pour déterminer les abscisses des points recherchés.
3- Utiliser l’équation d’une tangente en supposant quelle passe par l’origine du repère puis aller à la recherche de l’abscisse du point en lequel elle est tangent à la courbe de $f$ puis conclure.

Détermination d’une fonction connaissant des tangentes à sa courbe.

  • Considérer une tangente $(T)$.
  • Déterminer une équation en utilisant le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point $A(1,3)$
  • Déterminer une seconde équation en utilisant le fait que le point $A$ appartient à la tangente considérée.
  • Déterminer une troisième équation en utilisant le fait qu’une autre tangente est horizontale au point d’abscisse $\dfrac{1}{2}$ en tenant compte du coefficient directeur.
  • Former un système d’équation à partir des trois équations obtenues puis résoudre ce système d’équation.

Détermination d’une mesures d’angles orientés

Utiliser l’orientation du triangle ABC et se rappeler que la hauteur issue d’un sommet d’un triangle équilatéral est en même temps bissectrice de l’angle à ce sommet et que cette hauteur a un support perpendiculaire au support du côté opposé au sommet.

Preuve de trois points alignés à partir des angles orientés.

Ici il s’agit de montrer que la mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})=\pi+2k\pi \text{ avec } k\in \mathbb{Z}$.
Pour cela :
– Réécrire l’angle orienté $(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})$ en fonction de ces subdivision $(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA});(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$ et $(\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF})$ en utilisant la relation de Chasles.
Puis chercher les mesures de chacun des angles $(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EA});(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$ et $(\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF})$.
Enfin, faire la somme des mesures de ces angles.

Comparaison de deux séries statistiques.

1- Faire le tableau des effectifs cumulés croissants de chacune des séries statistiques puis utiliser la définition de la médiane pour retrouver la classes à laquelle elle appartient dans chaque série.
2- Utiliser le tableau précédent puis les définitions du premier et troisième quartiles pour déterminer leurs classes respectives.
3- Chercher le minimum, le maximum, le centre des classes auxquelles appartiennent les médianes et les quartiles.
4- Se baser sur la représentation en particulier la position qu’occupe les médianes et quartiles pour comparer les résultats obtenus par les deux classes.

Détermination des caractéristiques d’une série statistique.

1- Il est facile de trouver le nombre de ticket perdant.
2- Chercher le prix de vente total des tickets puis soustraire de ce montant le montant total de lots distribuer pour les tickets gagnants.
3- Utiliser les formules vues au cours pour calculer la moyenne, la variance puis l’écart-type.
4- Faire un tableau des effectifs cumulés croissants puis utiliser les définitions de la médiane, du premier quartile et du troisième quartile pour chercher ces derniers.
Déduire des résultats précédents si un diagramme en boite est pertinent pour résumer cette série statistique.

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