Contrôle corrigé 4: Trigonométrie et suite

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Émilie de Rodat à Toulouse. Notions abordées : Résolution d’équation trigonométrique, détermination de la périodicité d’une fonction trigonométrique, utilisation des relations trigonométriques, étude d’une suite numérique, étude d’une suite numérique en utilisant un algorithme Python et Changement d’une variable trigonométrique dans une équation du second degré.

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Résolution d’équation trigonométrique

1- Transformer l’équation donnée en une équation connue. Procéder par équivalence pour trouver le ou les valeurs de x ensuite chercher le ou les valeurs de x appartenant à l’intervalle donné.
2- Utiliser le cercle trigonométrique et se positionner dans le cadran correspondant à l’intervalle donné puis cherché le réel vérifiant les conditions données.
3- Utiliser le cercle trigonométrique et se positionner dans le cadran correspondant à l’intervalle donné puis cherché le réel vérifiant les conditions données.

Périodicité d’une fonction trigonométrique.

1- Calculer d’abord f(-x) puis effectuer la comparaison.
2- Déduire de ce qui précède la parité de la fonction f pour pouvoir compléter sur le graphe la courbe représentative de la fonction f.
3- Déterminer la valeur de la plus petite période correspondant graphiquement à la longueur d’une alternance. Utiliser par suite la définition de la période d’une fonction pour vérifier la valeur trouvée.
4- Utiliser la définition de la périodicité d’une fonction pour vérifier si la valeur donnée est une période de la fonction g.

Relations trigonométriques

1- Utiliser la relation trigonométrique portant sur la somme des carrés du cosinus et du sinus d’un réel donné puis vérifier la véracité de la relation donnée.
2- Utiliser la même technique que dans la question précédente.
3- Utiliser la relation trigonométrique portant sur la somme des carrés du cosinus et du sinus d’un réel donné puis déterminer le sinus à partir de son carré.
4- Utiliser la périodicité puis la parité de la fonction cosinus puis vérifier la véracité de la relation donnée.
5- Calculer le cosinus du réel donné et faire une comparaison.

Étude d’une suite numérique.

1- Remplacer la valeur de n dans l’expression de la suite donnée pour obtenir les 4 premiers termes de la suite ( commencer par n=0).
2- Calculer l’expression de Vn+1 en remplaçant n par n+1 dans l’expression de Vn puis écrire l’expression de Vn+1 en fonction de celle de Vn et de n.
3- Utiliser l’expression de Un+1 donnée, pour déterminer celle de Un+2 puis remplacer les Un+1 dans l’expression de Un+2 par leurs valeurs.
4- Utiliser la relation Un+2=Un de la question précédente pour déterminer la valeur de U5

Suite numérique en utilisant un algorithme Python

1- Prendre les valeurs fournit au début du programme; vérifier la condition pour entrer dans la boucle et effectuer les calculs puis donner les valeurs trouvées. Répéter ces étapes jusqu’à ce que la condition ne soit plus vérifier pour entrer dans la boucle.
2- Choisir parmi les suites données celles qui vérifient les valeurs trouvées pour la valeur w donnée dans l’algorithme.

Périodicité d’une fonction trigonométrique.

1- Déterminer l’expression de P(t+0.75) à partir de celle de P(t) puis utiliser la périodicité de la fonction cosinus pour montrer que l’expression trouvée est la même que celle de P(t).
2- Sachant qu’un cycle correspond à une période et qu’une minute correspond à 60 secondes il suffit de faire une règle de trois pour trouver la valeur cherchée.

Changement d’une variable trigonométrique.

1- Remplacer dans l’équation (E) donnée tout les termes de sin(x) par X pour obtenir une équation uniquement en fonction de X.
2- Déterminer le discriminant de la nouvelle équation obtenue, puis déterminer la ou les solutions de cette équation si elle(s) existe(ent).
3- Déterminer les réels tels que le sinus de ces réels soit égale à la ou les solutions trouvé(es) lors de la résolution de l’équation précédente. Les réels trouvés sont les solutions de l’équation (E).

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