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Contrôle corrigé 6: Dérivée et trigonométrie

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Cours de mathématiques en ligne

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Émilie de Roddat à Toulouse. Notions abordées : Détermination du taux de variations, du nombre dérivé, d’équation d’une tangente à une courbe représentative d’une fonction et de la dérivabilité d’une fonction. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique et calcul des rapports trigonométriques en utilisant des relations trigonométriques.

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Tangente à une courbe et nombre dérivé.

1- Repérer les abscisses correspondants aux valeurs demandées et chercher les ordonnées qui correspondent à leurs projections sur la courbe représentative de la fonction.
2- Utiliser la définition de la tangente pour déterminer les nombres dérivés demandés en justifiant.
3- Donner l’équation de la droite passant par les points $A$ et $C$ puis utiliser la formule de la tangente $(T): y=f′(a)(x−a)+f(a)$ d’une courbe pour justifier l’équation donner.

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Taux de variations et équation d’une tangente.

1- Utiliser la définition du taux de variation pour calculer le taux de variation de $g$ entre $3$ et $3+h$ puis procéder par égalité successives pour montrer qu’il est égale à l’expression donnée.
2- Pour obtenir la valeur de $g'(3)$ il suffit de calculer la limite du taux de variation précédemment calculer lorsque $h \to 0$.
3- La tangente au point $M$ d’abscisse $3$ est la droite passant par le point $M (3, g(3))$ et de coefficient
directeur $g'(3)$. Il suffit donc de déterminer l’équation de cette droite.
4- Pour tracer la tangente en $M$ il faut trouver un second point distinct de $M$ et tracer la droite passant par ce point et le point $M$ sur la figure.

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Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique

1- Utiliser le cercle trigonométrique en effectuant des tours et demi-tours pour déterminer les réels correspondants à la position des points $C$ et $M$.
2- Il est facile le repérage des positions des points $E$ et $F$. Pour le repérage des positions des points $G$ et $H$ il faut réécrire les nombres réels correspondant à leurs position sous la forme $2\pi+x$. La position des point $G$ et $H$ est celle correspondant au réel $x$ selon le cas.

Calcul du sinus et cosinus de quelques nombres réels

1- a) Il est facile de trouver les valeurs exactes de $\cos(\dfrac{\pi}{6})$ et de $\sin(-\dfrac{\pi}{6})$.
b) Pour déterminer le $\sin(\dfrac{7\pi}{3})$, il faut réécrire le nombre $\dfrac{7\pi}{3}$ sous la forme $2\pi+x$ et utiliser la périodicité de la fonction sinus.
Pour déterminer $\cos(\dfrac{3\pi}{4})$, il faut réécrire le nombre $\dfrac{3\pi}{4}$ sous la forme $\pi-x$ et utiliser la formule correspondante des cosinus pour trouver la valeur exacte de $\cos(\dfrac{3\pi}{4})$.
Pour déterminer $\sin(-\dfrac{\pi}{6})$ il suffit d’utiliser la relation $\sin(-x)=-\sin(x)$
2- Pour placer le point $M$ associé au réel $\dfrac{5\pi}{4}$ il faut d’abord le réécrire ce réel sous la forme $\pi+x$. La position de $x$ est celle du point $M$ sur le cercle trigonométrique.
Pour déterminer les coordonnées du point $M$ il faut déterminer les valeurs de $\sin(\dfrac{5\pi}{4})$ et $\cos(\dfrac{5\pi}{4})$.

Conversion des mesures d’angles en radian ou en degré.

1- Pour convertir en degré la mesure des angles donnés utiliser la correspondance de $\pi$ radian à $180^\circ$.
2- Pour convertir en radian la mesure des angles donnés utiliser la correspondance de $180^\circ$ à $\pi$ radian .

Taux de variation et dérivabilité d’une fonction.

1- Utiliser la définition de la dérivabilité et du taux de variation pour compléter les pointillés.
2- Déduire à partir des résultats précédents la limite du taux de variation lorsque $h\to 0$ et vérifier si cette limite est un réel.

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