Tuesday, 12 May 2020 / Published in Contrôles corrigés première option mathématiques

Contrôle corrigé 6: Dérivée et trigonométrie

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Cours Galilée > Blog > Contrôles corrigés première option mathématiques > Contrôle corrigé 6: Dérivée et trigonométrie

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Émilie de Roddat à Toulouse. Notions abordées : Détermination du taux de variations, du nombre dérivé, d’équation d’une tangente à une courbe représentative d’une fonction et de la dérivabilité d’une fonction. Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique et calcul des rapports trigonométriques en utilisant des relations trigonométriques.

L’énoncé du contrôle en pdf

Controle6

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Correction6

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Tangente à une courbe et nombre dérivé.

1- Repérer les abscisses correspondants aux valeurs demandées et chercher les ordonnées qui correspondent à leurs projections sur la courbe représentative de la fonction.
2- Utiliser la définition de la tangente pour déterminer les nombres dérivés demandés en justifiant.
3- Donner l’équation de la droite passant par les points $A$ et $C$ puis utiliser la formule de la tangente $(T): y=f′(a)(x−a)+f(a)$ d’une courbe pour justifier l’équation donner.

Retrouvez ici le cours complet !

Taux de variations et équation d’une tangente.

1- Utiliser la définition du taux de variation pour calculer le taux de variation de $g$ entre $3$ et $3+h$ puis procéder par égalité successives pour montrer qu’il est égale à l’expression donnée.
2- Pour obtenir la valeur de $g'(3)$ il suffit de calculer la limite du taux de variation précédemment calculer lorsque $h \to 0$.
3- La tangente au point $M$ d’abscisse $3$ est la droite passant par le point $M (3, g(3))$ et de coefficient
directeur $g'(3)$. Il suffit donc de déterminer l’équation de cette droite.
4- Pour tracer la tangente en $M$ il faut trouver un second point distinct de $M$ et tracer la droite passant par ce point et le point $M$ sur la figure.

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Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique

1- Utiliser le cercle trigonométrique en effectuant des tours et demi-tours pour déterminer les réels correspondants à la position des points $C$ et $M$.
2- Il est facile le repérage des positions des points $E$ et $F$. Pour le repérage des positions des points $G$ et $H$ il faut réécrire les nombres réels correspondant à leurs position sous la forme $2\pi+x$. La position des point $G$ et $H$ est celle correspondant au réel $x$ selon le cas.

Calcul du sinus et cosinus de quelques nombres réels

1- a) Il est facile de trouver les valeurs exactes de $\cos(\dfrac{\pi}{6})$ et de $\sin(-\dfrac{\pi}{6})$.
b) Pour déterminer le $\sin(\dfrac{7\pi}{3})$, il faut réécrire le nombre $\dfrac{7\pi}{3}$ sous la forme $2\pi+x$ et utiliser la périodicité de la fonction sinus.
Pour déterminer $\cos(\dfrac{3\pi}{4})$, il faut réécrire le nombre $\dfrac{3\pi}{4}$ sous la forme $\pi-x$ et utiliser la formule correspondante des cosinus pour trouver la valeur exacte de $\cos(\dfrac{3\pi}{4})$.
Pour déterminer $\sin(-\dfrac{\pi}{6})$ il suffit d’utiliser la relation $\sin(-x)=-\sin(x)$
2- Pour placer le point $M$ associé au réel $\dfrac{5\pi}{4}$ il faut d’abord le réécrire ce réel sous la forme $\pi+x$. La position de $x$ est celle du point $M$ sur le cercle trigonométrique.
Pour déterminer les coordonnées du point $M$ il faut déterminer les valeurs de $\sin(\dfrac{5\pi}{4})$ et $\cos(\dfrac{5\pi}{4})$.

Conversion des mesures d’angles en radian ou en degré.

1- Pour convertir en degré la mesure des angles donnés utiliser la correspondance de $\pi$ radian à $180^\circ$.
2- Pour convertir en radian la mesure des angles donnés utiliser la correspondance de $180^\circ$ à $\pi$ radian .

Taux de variation et dérivabilité d’une fonction.

1- Utiliser la définition de la dérivabilité et du taux de variation pour compléter les pointillés.
2- Déduire à partir des résultats précédents la limite du taux de variation lorsque $h\to 0$ et vérifier si cette limite est un réel.

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Contrôle corrigé 6: Dérivée et trigonométrie

Tangente à une courbe et nombre dérivé.

Taux de variations et équation d’une tangente.

Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique

Calcul du sinus et cosinus de quelques nombres réels

Conversion des mesures d’angles en radian ou en degré.

Taux de variation et dérivabilité d’une fonction.

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