Contrôle spécialité maths terminale corrigé 3: Suites numériques

ÉTUDE DE VARIATION D’UNE SUITE

1- Utiliser l’expression de la suite $u_n$ en remplaçant les présence de $n$ pour trouver les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2- Utiliser la méthode de démonstration par récurrence:
– Initialisation:
Trouver un rang à partir duquel l’inégalité est vraie.
– Hérédité:
Supposer l’inégalité vraie pour un entier naturel $k$ supérieure au rang précédemment trouvé, puis montrer que l’inégalité est vraie au rang $k+1$ puis conclure.
3- Déterminer le signe de l’expression $u_{n+1}-u_n$ en utilisant une déduction de la question précédente.
4- Utiliser le fait que $u_n\geq n$ pour tout entier $n$ pour déterminer la limite de la suite $u_n$.
5- Écrire une fonction qui calcule la valeur : $u=3*u-2*n+3$ tant que $u<20000$, elle retourne la valeur de $n$ lorsque $u\geq 20000$.
6- (a) Faire le calcul $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ puis conclure.
(b) Déduire de la question précédente, l’expression de la suite $v_n$ puis déterminer à partir de l’égalité liant $u_n$ et $v_n$ l’expression de la suite $u_n$.
(c) De ce qui précède, $u_n=3^n+n-1$ ainsi une somme de $n$ termes de $u_n$ est la somme des sommes de chacun des termes de l’expression de $u_n$. Déterminer donc chacune des sommes des termes de l’expression de $u_n$ puis les remplacer dans la somme de $n$ termes de $u_n$.