Contrôle spécialité maths terminale corrigé 3: Suites numériques

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Sainte Marie des champs à Toulouse. Notions abordées : Détermination de la limite d’une suite numérique en utilisant le théorème des gendarmes, calcule de la limite d’une suite numérique, démonstration par récurrence d’une suite, étude des variation d’une suite et calcule de la somme des $n$ premiers termes d’une suite numérique.

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CG-MA-T-CO-3

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RAPPEL NOTION DE SUITES NUMÉRIQUES

1- Vérifier si la limite de $(u_n)$ lorsque $n$ est pair est la même que lorsque $n$ est impair.
2- Calculer la limite de la suite $(v_n)$ puis choisis la bonne réponse.
3- Encadrer la suite $w_n$, sachant que pour tout entier $n$,
$-1\leq \sin(x)\leq 1$ puis déterminer la limite de la suite $w_n$ en utilisant le théorème des gendarmes.
4- Vérifier la propriété pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$ puis faire une démonstration par récurrence pour confirmer la véracité de la propriété $P(n)$.
5- Vérifier la majoration en encadrant la suite $u_n$ puis étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour donner le sens de variation de la suite $u_n$.
6- Utiliser le théorème des gendarmes.
7- Déterminer l’expression de la suite $(b_n)$ puis calculer sa limite en tenant compte de sa raison.
8- Faire une factorisation de l’expression de $c_n$ pour lever l’indétermination puis calculer la limite de la suite $c_n$.

LIMITES D’UNE SUITE

1- Factoriser l’expression du numérateur et du dénominateur de la suite $u_n$ par $n^2$ puis calculer la limite de $u_n$.
2- Encadrer l’expression de la suite $v_n$ sachant que $-1\leq (-1)^n \leq 1$, puis utiliser le théorème des gendarmes.
3- Cette limite est facile à déterminer.
4- Déterminer l’expression conjuguée de l’expression de la suite $t_n$ puis obtenir une fraction en multipliant l’expression de $t_n$ par l’expression conjuguée et en la divisant par l’expression conjuguée.
Déterminer par suite la limite de l’expression obtenue.
5- Déterminer l’expression de la suite $s_n$ en utilisant la formule:
$s_n=s_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Déterminer par suite la limite de cette expression.

ÉTUDE DE VARIATION D’UNE SUITE

1- Utiliser l’expression de la suite $u_n$ en remplaçant les présence de $n$ pour trouver les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2- Utiliser la méthode de démonstration par récurrence:
– Initialisation:
Trouver un rang à partir duquel l’inégalité est vraie.
– Hérédité:
Supposer l’inégalité vraie pour un entier naturel $k$ supérieure au rang précédemment trouvé, puis montrer que l’inégalité est vraie au rang $k+1$ puis conclure.
3- Déterminer le signe de l’expression $u_{n+1}-u_n$ en utilisant une déduction de la question précédente.
4- Utiliser le fait que $u_n\geq n$ pour tout entier $n$ pour déterminer la limite de la suite $u_n$.
5- Écrire une fonction qui calcule la valeur : $u=3*u-2*n+3$ tant que $u<20000$, elle retourne la valeur de $n$ lorsque $u\geq 20000$.
6- (a) Faire le calcul $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ puis conclure.
(b) Déduire de la question précédente, l’expression de la suite $v_n$ puis déterminer à partir de l’égalité liant $u_n$ et $v_n$ l’expression de la suite $u_n$.
(c) De ce qui précède, $u_n=3^n+n-1$ ainsi une somme de $n$ termes de $u_n$ est la somme des sommes de chacun des termes de l’expression de $u_n$. Déterminer donc chacune des sommes des termes de l’expression de $u_n$ puis les remplacer dans la somme de $n$ termes de $u_n$.

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