Contrôle spécialité maths terminale corrigé 5: Suites numérique et probabilité

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Sainte Marie des champs à Toulouse. Notions abordées : Détermination de cardinale, d’arrangement, de permutation et de combinaison d’un ensemble donné. Utilisation de la formule du triangle de Pascal, manipulation de la formule de la combinaison et de la formule du factoriel d’un entier.

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CG-MA-T-CO-5

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LIMITES DE SUITES

1- (a) Faire une factorisation par le monôme du plus haut degré puis déterminer la limite.
(b) Passer par l’expression conjuguée de l’expression fournie.
(c) Factoriser le numérateur et le dénominateur par leurs monôme du plus haut degré respectivement. Simplifier puis déterminer la limite.
2- (a) Trouver une contradiction si elle existe.
(b) Faire un raisonnement par l’absurde pour s’assurer de la véracité ou non de l’affirmation.
3- Donner un encadrement de $3n+(-1)^n$ sachant que $-1\leq (-1)^n\leq 1$ puis utiliser le théorème des gendarmes.
4- (a) Utiliser le cours pour donner la définition.
(b) Procéder à un raisonnement par l’absurde en supposant qu’une suite strictement négative peut converger vers une limite positive ou nulle.

ÉTUDE D’UNE SUITE AUXILIAIRE

1- Il est facile de calculer $u_1$ et $u_2$.
2- (a) Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité $u_n>n$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité $u_k>k$ vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ puis conclure.
(b) Sachant de la question précédente que $u_n>n$ donner un encadrement de $u_{n+1}$ en comparant $u_n$ et $u_{n+1}$ puis donner le sens de variation de $u_n$.
(c) Utiliser les résultats des questions précédentes pour confirmer ou non l’affirmation.
3- (a) Pour montrer que $x_n$ est arithmétique, calculer $x_{n+1}-x_n$ pour déterminer la raison et $x_0$ pour déterminer le premier terme.
(b) Pour déduire l’expression de $u_n$ il suffit de déterminer l’expression de la suite $x_n$ en fonction de $n$ puis utiliser le fait que $x_n=\dfrac{1}{u_n}$ pour déterminer $u_n$.
(c) Il est facile de donner la limite de la suite $u_n$.

SUITE DIVERGENTE

1- Donner la définition de suite divergente en se basant sur le cours.
2- Se rappeler de la définition de la limite de $v_n$ : pour tout réel $A>0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel, $v_n>A$.
Déduire ensuite la limite de $u_n$.
3- Application:
(a) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
(b) Déterminer le signe de $u_{n+1}-u_n$ puis donner le sens de variation de la suite $u_n$.
(c) i. Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité $u_n>n^2$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité $u_k>k^2$ vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ puis conclure.
ii. Utiliser la propriété de cours qui a été prouvée à la question 2).
(d) Faire une conjecture en se basant sur les valeurs de $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Puis utiliser la technique de démonstration par récurrence pour confirmer votre conjecture.

SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE

1- (a) Pour montrer que $w_n$ est une suite géométrique, il faut calculer $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ pour déterminer la raison puis $w_0$ pour déterminer le premier terme.
(b) Déterminer l’expression de la suite $w_n$ en utilisant l’expression générale d’une suite géométrique: $u_0\times q^n$.
(c) Sachant que $w_n=u_n-3$ il est facile de trouver l’expression de $u_n$ en faisant une déduction de la question précédente.
(d) Il est facile de calculer la limite de la suite $u_n$ sachant que $0<q<1$.
2- (a) Pour déterminer le sens de variation de $S_n$ il suffit de déterminer le signe de $S_{n+1}-S_n$
(b) Utiliser l’expression $\sum\limits_{k=0}^{n}u_k$ et de la suite $u_n$ en appliquant la somme à chaque terme de la suite $u_n$.
(c) Pour déduire la limite de la suite $S_n$ il suffit d’utiliser l’expression précédente de $S_n$ trouvée. Il n’y a aucune indétermination donc il est facile de calculer cette limite.
3- Calculer $s_{n+1}-s_n$ et vérifier si on peut déterminer le signe de ce dernier à partir du sens de variation de $x_n$. On peut toutefois passer par une contradiction de l’affirmation.

PROBABILITÉ

1- Il s’agit d’un choix au hasard de $k$ éléments non ordonnés parmi $n$ éléments. Déterminer sachant cela la valeur cherchée.
2- Pour faire un running-list, on fait un réarrangement des 10 musiques choisit au préalable, ce qui correspond donc à une permutation.

DUEL DE CHAMPIONS

Pour déterminer la limite de $\dfrac{n!}{n^n}$ il faut trouver un encadrement de cette dernière par deux suite ayant la même limite puis appliquer le théorème des gendarmes pour donner la limite cherchée.

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