Contrôle corrigé 5: Produit scalaire, suites

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en Emilie de de Rodat à Toulouse en 2020. Notions abordées : étude des différentes techniques pour déterminer le sens de variation d’une suite. Distributivité du produit scalaire, et produit scalaire et configurations géométriques.

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Controle5

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Sens de variation d’une suite.

1- Remplacer $n$ par les valeurs $0$, $1$ et $2$ dans l’expression de la suite $u_{n+1}$ pour trouver les valeurs des suite correspondantes à ces entiers.
2- Chercher la valeur de la différence $u_{n+1} – u_n$ et la comparée à 0 suivant les valeurs de $n$. Donner suivant le signe de la différence $u_{n+1} – u_n$ le sens de variation de la suite.

Sens de variation d’une suite par la méthode des quotients

1- Calculer la suite $u_{n+1}$ à partir de l’expression de $u_n$; comparer la valeur du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1. Déterminer à partir de cette comparaison le sens de variation de la suite $u_n$
2- Calculer la suite $v_{n+1}$ à partir de l’expression de $v_n$; comparer la valeur de la différence $v_{n+1} – v_n$ à 0. Donner suivant le signe de la différence $v_{n+1} – v_n$ le sens de variation de la suite.
3- a) On sait que 0.5>0; utiliser cette inégalité par équivalence successives pour montrer que $w_n$ > 0.
b) Calculer l’expression de $w_{n+1}$ à partir de celle de $w_n$. Calculer le quotient $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$ en comparant la valeur de ce quotient à 1 puis déterminer le sens de variation.

Étude d’une suite à l’aide d’une fonction

1- L’expression de $f$ est obtenue en remplaçant tout $n$ présent dans l’expression de la suite $u_n$ par la variable $x$.
2- Étudier le sens de variation de la fonction en déterminant:

  • le domaine de définition de la fonction $f$.
  • le domaine de dérivabilité puis la fonction dérivée.
  • le signe de la fonction dérivée.
  • puis le sens de variation de la fonction suivant le signe de la fonction dérivée.
    Pour déduire le sens de variation de la suite Un, il suffit d’observer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,+\infty[$

Calcul de produit scalaire de deux vecteurs

1- Utiliser la relation de Chasles sur le vecteur $\overrightarrow{BA}$ en utilisant le point $J$ puis calculer le produit en faisant un développement. Utiliser ensuite une projection orthogonal pour déterminer le vecteur inconnu.
2- Faire une déduction à partir des calculs de la question précédente.
3- Utiliser la formule du produit scalaire de deux vecteurs.

Produit scalaire de somme de vecteurs en utilisant les produits remarquables.

1- Effectuer le développement membre à membre du produit des deux facteurs puis remplacer par leurs valeurs chaque produits scalaire obtenu à partir de ce développement et calculer.
2- Utiliser l’un des produits remarquables pour développer l’expression donnée puis remplacer par leurs valeurs chaque produits scalaire obtenu à partir de ce développement et calculer.
3- Utiliser l’un des produits remarquables pour développer l’expression donnée puis remplacer par leurs valeurs chaque produits scalaire obtenu à partir de ce développement et calculer.
4- Utiliser deux des produits remarquables pour développer et réduire l’expression donnée, puis remplacer par leurs valeurs chaque produits scalaire obtenu à partir de ce développement et calculer.

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