Contrôle spécialité maths terminale corrigé 15: Géométrie dans l’espace, étude de fonction et probabilité

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Saint-Sernin à Toulouse. Notions abordées : Réalisation d’un arbre pondéré, utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer certaines probabilité, calcul de l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale. Calcul de limites, de dérivées et études des variations de fonction exponentielle. Utilisation de l’algorithme de dichotomie pour la recherche d’un encadrement d’une racine d’une fonction. Détermination du maximum d’une fonction à partir de son tableau de variation. Étude des positions relatives de droites à partir des représentations paramétriques de ces droites.

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CG-MA-T-CO-15

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PROBABILITÉS

1- Réaliser l’arbre pondéré de en utilisant les pourcentages donnés dans l’énoncé et sachant que la probabilité de évènement $\bar{A}$ est $P(\bar{A})=1-P(A)$.
2- Savoir à quel évènement correspond l’évènement ” La chaudière est sous garantie et défectueuse ” en faisant attention au connecteur logique ET, puis déterminer à l’aide de l’arbre pondéré, la probabilité de cet évènement.
3- Utiliser la formule des probabilité totales.
4- Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle.
5- (a) Déterminer d’abord les valeurs que peut prendre la variable aléatoire $Y$. Puis déterminer les probabilité $P(Y=y)$ où $y$ représente chacune des valeurs initialement trouvées.
(b) Utiliser la formule de calcule de l’espérance d’une variable aléatoire.
(c) Donner une interpretatin de l’espérance dans la situation du problème.
6- (a) Il s’agit de montrer que la variable aléatoire $X$ est une répétition d’une épreuve de Bernoulli identiques et indépendantes en précisant ces paramètres.
(b) Utiliser la formule :
$P(X=k)=\binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$.
(c) Il s’agit de calculer la probabilité $P(X\geq 3)$.
7- (a) Utiliser la formule :
$P(G\cup D)=P(G)+P(D)-P(G \cap D)$.
(b) Vérifier si :
$P(G\cap D)=P(G) \times P(D)$

ÉTUDES DE FONCTIONS

PARTIE A:
1- Il est facile de trouver la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
2- Utiliser la décomposition donnée et s’aider des limites :
$\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x =0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} e^{x-4}=0$
3- Calculer la dérivée de la fonctin $g$ sachant que pour toutes fonctions dérivables $u$ et $v$ on a:
$(e^u)’=u’\times e^u$ et $(u\times v)’=u’\times v+v’\times u$.
Faire le tableau de variation de la fonction $g$ après avoir étudier le signe de sa dérivée en résolvant l’équation $g'(x)=0$.
4- Utiliser le théorème des valeurs intermédaires pour prouver l’existance et l’unicité de $\alpha$ puis utiliser l’algorithme de dichotomie pour encadrer $\alpha$.
5- Donner le signe de la fonction $g$ sachant qu’elle s’annule en $\alpha$ en changeant de signe.

PARTIE B:
1- Pour résoudre l’équation $f(x)=0$ il suffit de factoriser l’expression de $f(x)$ par $x^2$ et d’utiliser les techniques de résolution d’équations avec exponentielle.
2- Calculer la dérivée de la fonctin $f$ sachant que pour toutes fonctions dérivables $u$ et $v$ on a:
$(e^u)’=u’\times e^u$ et $(u\times v)’=u’\times v+v’\times u$.
Faire enfin, une factorisation du résultat obtenu par $-x$ pour terminer la preuve.
Pour donner le tableau de variation de la fonction $f$ il faut étudier le signe de sa dérivée en se basant sur les signes de $-x$ et de $g$.
3- D’après le tableau de variation de $f$, le maximum cherché est $f(\alpha)$. Calculer cette valeur en fonction de $\alpha$ puis sachant que $f'(\alpha)=0$ déterminer l’expressioin de $e^{\alpha-4}$ et la remplacer dans $f(\alpha)$.
4- Utiliser la formule de la tangente à courbe en point d’abscisse $x_0$.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE


1- Chercher un réel $t$ pour lequel les coordonnées de $A$ vérifie la représentation paramétrique de la droite.
2- Se rappeler de la forme de la représentation paramétrique de droite vu au cours pour donner les vecteurs directeurs des deux droites. Justifier si les deux droites sont parallèles ou pas en vérifiant si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
3- (a) Utiliser la forme de la représentation paramétrique vu au cours pour donner celle de la droite $\Delta$.
(b) Vérifier si les droites $\Delta$ et $d_1$ sont sécantes en vérifiant si elles ont un point d’intersection.
4- Vérifier si les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonaux en calculant le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et en vérifiant si ce produit est nul ou pas.

SUITES NUMÉRIQUES

1- Il est facile de déterminer les valeurs de $v_2$ et $v_3$.
2- Prendre l’expression de $u_n$ donner et montrer par égalité suiccessive quelle est égale à l’expression initiale de $u_n$.
3- Utiliser le fait que $n$ soit non nul pour montrer que $u_n>0$ puis savoir que pour tout réel $k>0$; $1-k<1$.
4- (a) Déteminer $\dfrac{v_n}{v_{n-1}}$ et comparer sa valeur à 1 en utilisant la réponse de la question précédente puis conclure.
(b) La suite $(v_n)$ est déjà décroissante d’après la question précédente, il suffit de montrer quelle est minorée en utilisant $v_n=u_1\times u_2\times…\times u_n$ et $0<u_n<1$.
5- (a) Utiliser $v_n=v_{n-1}\times u_n$ en remplaçant $n$ par $n+1$.
(b) Utiliser la technique de récurrence en faisant une initialisation à 1 puis supposé l’égalité vraie pour tout entier naturel $k\geq 1$ et la montrer à l’ordre $k+1$.
(c) Utiliser l’expression de la suite $v_n$ prouver à la question précédente et après avoir faire une factorisation du numérateur et du dénominateur par $n$ il devient facile de trouver sa limite.
6- Completer les pointillés de la fonction python sachant que la suite $v_n$ est un produit successif de chacune des valeurs de $u_n$ en fonction de l’entier $n$.

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