Contrôle spécialité maths terminale corrigé 16: Étude de fonctions

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Saint-Sernin à Toulouse. Notions abordées : Calcule de la dérivée de fonctions exponentielles, calcul des limites aux bornes du domaine de définition de fonctions exponentielles et de fonctions rationnelles. Utilisation du théorème des accroissement finies pour justifier l’existence d’une racine unique d’une fonction. Encadrement de la valeur approchée de la solution d’une équation en utilisant l’algorithme de dichotomie. Détermination des asymptotes à la courbe représentative d’une fonction en se basant sur les résultats des limites de ces fonctions. Étude des variations et représentation du tableau de variation d’une fonction. Détermination de la continuité de fonctions définies par morceaux.

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CG-MA-T-CO-16

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ÉTUDE D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE

PARTIE A:
1- Déterminer les racines éventuelles de $P(x)$ puis donner son tableau de signe .
2-(a) Il est facile de donner la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ et pour celle en $-\infty$ il suffit de faire un développement de l’expression de la fonction $g$ tout en sachant que :
$\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$.
Donner l’interprétation géométrique en se basant sur les résultats des limites.
(b) Calculer la dérivée de la fonction $g$ puis factoriser le résultat obtenu par $e^x$. Il est facile d’en déduire le signe de la fonction $g’$.
(c) Sachant que $g’$ et $P$ sont du même signe, il est facile de donner le tableau de variation de la fonction $g$.
(d) Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des intervalles sur lesquels la fonction $g$ varie.
Utiliser ensuite l’algorithme de dichotomie pour déterminer un encadrement $\alpha$.
(e) Se baser sur le tableau de variation de la fonction $g$ pour donner son signe sachant quelle s’annule en $\alpha$.

PARTIE B:
1- Il est facile de trouver la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ il suffit de factoriser l’expression de la fonction $f$ par $x$.
2-(a) Remplacer $\alpha$ dans l’expression de $f$ puis chercher $e^{\alpha}$ en utilisant le fait que $g(\alpha)=0$ et le remplacer dans l’expression de $f(\alpha)$.
(b) Utiliser l’encadrement de $\alpha$ précédemment trouvé pour donner un encadrement de $f(\alpha)$.
3- Calculer la dérivée de la fonction $f$ et le comparer à l’expression de la fonction $g$.
4- Donner le tableau de variation de la fonction $f$ en se basant sur la remarque faite et en utilisant le signe de la fonction $g$.
5- Pour montrer que la droite d’équation $y=-2x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ il faut calculer la limite $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et vérifier si sa valeur est $-2$ puis calculer la limite $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)+2x$ et vérifier si sa valeur est $0$.
6- Étudier le signe de la fonction $f”$ sachant que si pour tout $x\in I$, $f”(x)\leq 0$ alors $f$ est concave sur $I$ et si pour tout $x\in I$, $f”(x)\geq 0$ alors $f$ est convexe sur $I$.
Donner les points d’inflexions de la fonction $f$ en se referant aux points où la dérivée seconde $f”$ s’annule en changeant de signe.
7- Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé.

CONVEXITÉ D’UNE FONCTION (QCM)

1- Calculer la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction $f$ en faisant une factorisation du résultat puis choisir la bonne réponse.
2- Etudier le signe de la dérivée seconde $f”$ de la fonction $f$ pour donner le sens de variation de sa fonction dérivée $f’$ puis choisir la bonne réponse en fonction de l’intervalle qui convient.
3- Donner la convexité de la fonction $f$ en se basant sur le signe de la dérivée seconde $f”$ de la fonction $f$ puis choisir la bonne réponse en fonction de l’intervalle qui convient.
4- Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5]$ à partir du signe de la dérivée seconde $f”$ puis choisir la bonne réponse.
5- Déterminer l’abscisse en lequel la dérivée seconde $f”$ de la fonction $f$ s’annule en changeant de signe.

ÉTUDE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

PARTIE A:
1- Pour étudier les variations de la fonction $g$ il faut:
– Calculer la fonction dérivée de $g$.
– Étudier le signe de la fonction dérivée de $g$
– Faire un tableau de signe de la fonction dérivée $g’$.
– Déterminer les limites de la fonction $g$ au borne de son domaine de définition.
2- Utiliser le théorème des accroissements finies sur l’intervalle $]2,1;2,2[$ en montrant que $f$ est monotone sur cet intervalle et que $f(2,1)\times f(2,2)<0$ pous montrer l’existence et l’unicité de $\alpha$.
3- Utiliser l’algorithme de dichotomie pour donner un encadrement de $\alpha$.
4- Pour étudier le signe de la fonction $g$ il faut se référer au tableau de variation de la fonction $g$ tout en sachant que la fonction $g$ s’annule en $\alpha$.

PARTIE B:
1- Il est facile de déterminer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de la fonction $f$. Etudier ensuite le signe de la fonction $x\mapsto x^2-1$ puis déterminer les limites en $-1$ et $1$ par valeurs inférieures et par valeurs supérieures.
2- Calculer la dérivée de la fonction $f$ puis factoriser le numérateur du résultat obtenu par $x$.
3- Pour faire le tableau de variation de la fonction $f$ il faut:
– Étudier le signe de la fonction dérivée $f’$ sachant que ce signe dépend du numérateur parceque son dénominateur est strictement positif.
– Faire le tableau de variation de la fonction $f$ sans oublier de mettre les deux barres pour $-1$ et $1$.
4- (a) Faire des calculs sur l’expression donnée pour montrer quelle est égale à l’expression de $f(x)$.
(b) Remarquer à partir de l’expression précédente que la droite d’équation $y=x+2$ est une asymptote oblique à la courbre représentative de $f$ puis montrer $\lim\limits_{x\to +\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\lim\limits_{x\to -\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=0$.
(c) Pour connaitre la position de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x+2$, il faut étudier le signe de la fonction $f(x)-(x+2)$ tout en sachant que si $f(x)-(x+2)<0$ alors la droite d’équation $y=x+2$ est au dessus de la courbe représentative de la fonction $f$ et que si $f(x)-(x+2)>0$ la courbe représentative de la fonction $f$ est au dessus de la droite d’équation $y=x+2$.

CONTINUITÉ D’UNE FONCTION DÉFINIE PAR MORCEAUX

1- Vérifier si $\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}f(x)= \lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=f(0)$ puis conclure.
2- Vérifier si $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=g(0)$ puis conclure.
3- Vérifier si $\lim\limits_{\underset{x<0}{x\to 0}}h(x)= \lim\limits_{\underset{x>0}{x\to 0}}h(x)=h(0)$ puis conclure.

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