Chapitre 6 : Fonction exponentielle

6-Exponentielle

Dans cette feuille d’exercices, destinée aux élèves de première prenant des cours de mathématiques en spécialité première, nous nous intéressons à une première approche de la fonction exponentielle. Cette fonction est essentielle à la compréhension et à l’analyse de toutes les croissances « en puissance », comme nous le voyons dans la dernière partie du cours.

Les bases de calcul avec la fonction exponentielle

Dans la première partie de ces cours de mathématiques, nous voyons comment maîtriser les bases du calcul avec cette fonction. La dérivée de la fonction exponentielle en premier lieux, car cette fonction a une condition particulière : c’est l’unique fonction qui reste égale à elle même, même en cas de dérivée.

Dans un deuxième temps, nous verrons quelles sont les fameuses « relations fonctionnelles » de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle possède en effet cette propriété qu’elle peut transformer une somme en produit. Ainsi exp(a+b)=exp(a)*exp(b).

Résolution d’équation avec la fonction exponentielle.

Dans cette deuxième partie du cours de mathématiques à Toulouse, nous nous intéressons à la résolution d’équations avec la fonction exponentielle. Cette partie du cours est déterminante, non seulement en elle-même, mais aussi pour la suite du programme, aussi bien en première qu’en terminale.

En effet, pour pouvoir étudier les variations de la fonction exponentielle, comme nous l’avons déjà vu dans les chapitres précédent, il faut étudier le signe de sa dérivée. Or, pour étudier le signe de la dérivée, il faut résoudre quand elle est égale à zéro. Or, la dérivée de la fonction exponentielle est égale… à elle-même ! Nous devons donc être capable de résoudre ces équations.

Nous verrons plus tard, et particulièrement les élèves prenant la spécialité maths en terminale, que ces résolutions d’équations se font extrêmement rapidement en utilisant… la fonction logarithme !

Étude des variations de la fonction exponentielle

Dans cette partie du cours de mathématiques, nous mettons à profit les notions que nous avons vues précédemment dans le chapitre « étude de fonctions« , en les appliquant à la fonction exponentielle. Ces exercices seront prétexte à utiliser les formules de dérivation simples et composées, que nous aurons vu en cours, et de répéter encore une fois toutes les étapes de l’étude d’une fonction, de sa dérivée, en passant par le tableau de variation, et jusqu’à l’étude de position relative des courbes.

Faire le lien avec les suites géométriques

Dans le Bulletin officiel, il est fait mention de la nécessité de « faire le lien entre la fonction exponentielle, et le lien qu’elle a avec les suites à croissances géométriques ». C’est ce que nous faisons dans cette partie, quand bien même une grande partie des professeurs passent rapidement, voir ignorent cette exigence du programme certes nébuleuse.

Problème

Nous concluons cette feuille d’exercice avec l’habituelle sélection de problèmes. Pour trouver des exercices ayant été donnés aux contrôles par des professeurs de Toulouse, rendez-vous sur notre page regroupant les contrôles.