Chapitre 5 – Dérivation et études de fonctions

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Dans cette feuille d’exercices destinée aux premières ayant choisi l’option mathématiques, on reprend la suite du chapitre précédent qui s’intéressait à la dérivation locale. Nous allons voir dans ce chapitre comment étendre cet outil merveilleux qu’est la dérivation à l’ensemble du domaine de définition de la fonction.

Apprendre les formules de dérivation

Après avoir bien intégré le fonctionnement de cet outil qu’est la dérivation en un point, on apprend un ensemble de formules de dérivation qui permet de ne pas avoir à passer par les étapes du taux de variation, puis de sa limite. Ces formules se déclinent en trois parties :

  • Les formules « simples », qui permettent de dériver les fonctions usuelles
  • Les formules somme de fonctions, de multiplication d’une fonction par une constante, de produit de fonctions, d’inverse de fonction, et de quotient de fonction.

Ces exercices que nous avons voulu nombreux, progressifs et complexes, font énormément appel aux capacités de calcul de l’élève. En effet, cette étape est, dans la problème, la plus « simple » à réaliser, et c’est pourtant celle qui prend aux élèves le plus de temps, en raison, la plupart du temps, des lacunes en calcul. Nous vous invitons d’ailleurs à aller voir, et à travailler, si ce n’est pas fait, sur la « feuille de calcul préliminaire« , afin d’aquérir les réflexes qui permettront de gagner un temps précieux en contrôle.

Étude de fonctions

Dans cette partie, on attaque enfin l’objectif final de la dérivation. En effet, cet outil (Inventé par Newton et Leibniz il y a 360 ans), a pour but final d’étudier les variations d’une fonction. Le problème est simple : quand on le graphique d’une fonction sous les yeux, il est relativement simple de déterminer si elle est croissante où décroissante, et si le graphique est suffisamment précis, on peut même dire sur quels intervalles elle l’est. Inversement, quand on ne possède que l’expression de la fonction, la tâche est beaucoup plus complexe.

Avec les formules de dérivation, on transforme simplement la question « une fonction est-elle croissante ou décroissante » en une question « cette fonction est elle positive ou négative », et même, comble de facilité : « Cette fonction est-elle égale à zéro », qui est une équation que les élèves savent résoudre depuis la troisième.

Application à l’étude de variations

La première série d’exercices constitue le panthéon de ce qui se fait en mathématiques au lycée, à savoir : dresser le tableau d’une fonction à partir de la fonction dérivée.

Application à la recherche d’extremums

La seconde partie de ce paragraphe s’intéresse à une application extrèmement intéressante de la dérivation : la recherche de minima et de maxima pour les fonctions. En effet, et particulièrement dans les problèmes économiques, on s’intéresse très souvent à maximiser où minimiser un coût, un bénéfice.

Problèmes

On termine avec une collection de problèmes qui permettent de mettre en situation les connaissances acquises.