Contrôle 4

controle-4

Contrôle donné en première spécialité mathématiques sur les études de suite, les polynômes du second degré, et la trigonométrie.

Exercice 1

Dans chaque cas, déterminer, s’ils existent, le ou les nombres x tels que: 1. sin(x)=−1 etx∈[−π;0]

2

√ 2.cos(x)=− 3etx∈[π;π]

2,cos(x) > 0 et x ∈ [0;2π] 2

22

3. sin(x) = −

Exercice 2

On considère les fonctions f définie sr R par f (x) = sin (3x) et g(x) = 2 cos 1. Comparer f(x) et f(−x). Que peut-on en déduire pour la fonction f?

2. Compléter alors la courbe f sur [−π; 0]:

􏰀3x+π􏰁 2

3. Conjecture alors la valeur de la plus petite période de f. Vérifier par le calcul. 4. Montrer que la fonction g est 4π périodique.

3

Exercice 3 :

les questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. Pour tout réel x, cos2 (x)−sin2 (x) = 2cos2 (x)+1
2. Pourtoutréelx,cos2(x)−sin2(x)=1−2sin2(x)
3. Pour tout réel x, sin (x) = 􏰄1 − cos2 (x)
4. Pourtoutréelx,cos(2020π−x)+cos(x+1000π)=0

5. Le nombre réel x tel que cos (x) = 1 et x ∈ 􏰂0; π 􏰃 est π 226

Exercice 4 :

Soit (Vn) la suite définie sur N par Vn =5n2−2n+3 1. Calculer les 4 premiers termes de la suite (Vn).
2. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn et de n.

Soit (Un) la suite définie par récurrence par Un+1 = Un + 1 et de premier terme U0 = 10 Un − 1

3. Montre que pour tout n ∈ N, Un+2 = Un

4. Calculer la valeur du terme de la suite (Un) d’indice 5

Exercice 5

On considère l’algorithme suivant:

n=0 w=50

while w<1000:
  n=n+1
  w=3*w+2*n+1
print(n)
  1. Appliquer cet algorithme en complétant autant que nécessaire le taleau suivant:
  2. Dans l’algorithme précédent, w représente les différents termes d’une suite. Parmi les relations de récurrence données ci-dessous, laquelle (ou lesquelles) correspondent à cette suite w? Aucune justifi- cation n’est attendue. (a) Wn+1 = 3Wn +2(n+1)+1 (b) Wn+1 = 3Wn +2n+1 (c) Wn = 3Wn − 1+2n+1

Exercice 6 :

La pression P (enm de mercure) contre les parois des vaisseaux sanguins d’une personne peut être modélisée par:

P (t) = 100 − 20 cos ( 8π t) 3

avec τ en secondes.

  1. Vérifier que pour tout τ≥0P(τ+0,75)=P(τ).
  2. Si un cycle équivaut à un battement de cœur, quel est le pouls de la personne en battement de cœur par minute (bpm)?

Exercice 7

On considère l’équation (E):

2 sin2 (x) + sin (x) − 1 = 0 On se propose de résoudre cette équation dans [0; 2π[

1. On pose X = sin (x), que devient l’équation? 2. Résoudre l’équation d’inconnue X.
3. En déduire les solutions de (E) dans [0;2π[