Contrôle 4

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Dans ce contrôle de mathématiques destiné aux élèves de première ayant choisi l’enseignement de mathématiques, nous allons travailler sur la trigonométrie les fonctions polynômes du second degré ainsi que les suites.

Exercice 1

 Dans le premier exercice, nous résolvons des équations trigonométriques. Ces équations font intervenir les fonctions sinus et cosinus. Pour chaque équation,  il est donné un intervalle de résolution. comme nous avons pu le voir dans le cours de maths, une équation trigonométrique, 2 par la périodicité des fonctions sinus et cosinus, possède une infinité de solution. Il est alors extrêmement important, de vérifier sur quel intervalle on se place, lorsqu’on donne les solutions.

Certains d’exercices ne précise pas l’intervalle de résolution. On s’attachera alors a donné l’intégralité des solutions réel qui correspondent à l’équation la première et la deuxième question concerne des équations à égalité stricte. Ce sont les plus simples.

La 3e équations est une inégalité. Elle a la particularité, d’avoir une double condition , à la fois sur la valeur du sinus, qui est donnée de manière égale, mais aussi sur la valeur du cosinus, qui est donnée sous forme d’une égalité.

Exercice 2:

Dans le deuxième exercice, on s’intéressera à la parité et à la périodicité des fonctions sinus et cosinus. On nous donne deux fonctions, F et G. La première fonction est relativement simple, mais la deuxième fonction possède un corps beaucoup plus compliqué. 

Dans la première partie de la  première partie de l’exercice on s’intéresse à la parité de la fonction f. On rappelle que pour vérifier la parité d’une fonction, on se demande si un nombre et son opposé ont la même image, où une image opposée si un nombre est son opposé ont la même image, on dit que la fonction est paire. Si un nombre est son opposé on des images opposés, on dit que la fonction est impair.

 Dans la deuxième question, il s’agit d’interpréter en terme de symétrie la parité de la fonction. En effet on répond à la première question en vérifiant que la fonction f est impaire. On rappelle qu’une fonction impaire se traduit graphiquement par une symétrie centrale par rapport à l’origine du repère point,  alors une fonction paire se traduit par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Dans la question 3 on s’interroge sur la plus petite période de F. On rappelle qu’une fonction possédant une périodicité fixe et possède aussi une périodicité de toutes les multiplicité possible de cette période point trouver n’importe quelle périodicité est extrêmement simple, la difficulté réside en fait dans l’exercice de trouver la plus petite période. enfin, dans la dernière question, on s’intéresse à montrer que la fonction G et aussi périodique, et le professeur a choisi d’aider l’élève en donnant la valeur de la période.

Exercice 3 :

Le 3e exercice se présente sous la forme d’un QCM. Les questions, quand bien même elles semblent concerner uniquement sinus et cosinus, font en fait appel à des notions plus large.

Pour mener à bien cet exercice, il est important de connaître la relation entre le carré d’un sinus et le carré d’un cosinus. On rappelle que la somme du carré d’un sinus, et du carré d’un cosinus, est égal à 1.

Exercice 4 :

Dans le 4e exercice,  on s’intéresse cette fois-ci à de suite numérique. Dans la première question, il s’agit de déterminer les 4  premier terme d’une suite donc on aura donner la forme explicite. On rappelle que pour une suite, il existe deux manières différentes d’exprimer cette suite. La première manière consiste à exprimer directement la suite en fonction de n. La deuxième consiste à exprimer le terme suivant en fonction du terme précédent. Le nom de la première expression est une suite explicite, le nom de la deuxième expression est une suite récurrente.

Exercice 5:

Dans l’exercice 5, il est question d’un algorithme. Dans la première partie de l’exercice, on doit remplir un tableau en faisant fonctionner virtuellement cet algorithme. Il s’agit de ne pas se tromper lorsqu’on programme  l’algorithme sur sa calculatrice, ou sur son tableur. Dans la deuxième partie de l’exercice, il s’agit de relier un ensemble de suite qui est proposé, à l’algorithme que l’on a vu précédemment.

Exercice 6 :

Dans l’exercice 6, on essaie de relier  les co les connaissances que l’on a acquis  sur les fonctions trigonométriques, a un problème de physique. la pression en millimètre de mercure dans les parois des vaisseaux sanguins d’une personne est modélisée  à l’aide d’une fonction trigonométrique point on s’interroge dans un premier temps sur la périodicité de la fonction. En effet, comme on en a tous fait l’expérience, les pulsations sanguines se répète à une certaine période. On s’attend donc à ce que la fonction qui donne la pression sanguine dans les vaisseaux sanguins en fonction du temps, soit elle aussi périodique. on finira l’exercice en se demandant quelle est le pouls de la personne, sachant  que l’on a déterminé la périodicité de la fonction .

Exercice 7

 Dans l’exercice 7, on considère une équation du second degré en sinus et cosinus. l’astuce ici, pour résoudre cette équation, et de procéder changement de variable point la technique du changement de variable et une technique exigible pour les élèves de 1re. le professeur a ici fait le choix de décomposer l’exercice afin de le rendre plus facile. Ce ne sera pas toujours le cas.  dans la première question, il propose un changement de variable où l’on remplace la fonction sinus par un grand X. une fois l’équation modifiée, on la résout. une fois l’équation résolue, on défait le changement de variable que l’on a fait précédemment, ce qui nous permet de trouver les solutions de l’équation. On prendra bien garde à ne conserver que les solutions qui appartiennent à l’intervalle de résolution qui est donnée dans l’exercice.