Contrôle corrigé 11 : Probabilité et trinôme

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en 2019 aux premières du lycée Toulouse Lautrec à Toulouse. Notions abordées : Résolution d’équations et d’inéquations du second degré, étude des positions de deux courbes représentatives et détermination d’une probabilité en utilisant l’arbre de probabilité.

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Équation et inéquation du second degré

1- Poser une équation à partir de l’expression donnée et déterminer le discriminant de cette équation puis conclure à partir du signe de ce dernier.
2- Trouver s’il existe un autre minimum que 7.
3- Rendre la fraction $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ au même dénominateur. Puis se rappeler de la formule de la somme et du produit des racines d’une fonction polynôme pour vérifier l’égalité.

Résolution d’une équation du second degré

1- Ramener les termes de l’expression de l’équation donnée dans un même membre. Déterminer le discriminant de l’équation obtenue puis déterminer les racines suivant le signe du discriminant.
2- Poser une équation à partir de l’expression donnée. Résoudre cette équation en passant par la méthode de factorisation. Puis faire un tableau de signe pour déterminer la partie solution de l’inéquation.
3- Poser une équation à partir de l’expression donnée. Résoudre cette équation en déterminant son discriminant. Puis faire un tableau de signe pour déterminer la partie solution de l’inéquation.

Étude des positions de deux courbes représentatives

A- Étude graphique
1- Il s’agit de représenter sur le graphique la droite d’équation $y=4x-3$
2- Les solutions de l’inéquation $f(x)\geq 0$ sont les réels $x$ pour lesquels la courbe $C_f$ est au dessus de la l’axe des abscisses.
3- L’ensemble des solutions de l’équation $f (x) = g(x)$ sont les points en lesquels la courbe $C_g$ et la courbe $C_f$ se coupent.

B- Étude algébrique:
1- Poser l’équation $f(x)=0$. Résoudre cette équation en déterminant son discriminant. Faire un tableau de signe de la fonction $x\mapsto f(x)$ puis déterminer la partie solution de l’inéquation $f(x)\geq 0$
2- Pour résoudre $f(x)=g(x)$ il faut passer à l’équivalence $f(x)-g(x)=0$. Déterminer le discriminant de l’équation obtenue et déterminer si elles existent la ou les racines éventuelles de cette équation.
Les coordonnées exactes des points d’intersections des courbes $C_f$ et $C_g$ sont les points ayant pour abscisses les solutions précédemment trouvées pour $f(x)=g(x)$.
3- Pour déterminer la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ il suffit d’effectuer une étude de signe de la fonction $x\mapsto f(x)-g(x)$

Équation du second degré

1- On Sait que la distance $BN$ doit être inférieure à 10cm, or $BN=2x$. Il est donc facile de trouver l’intervalle auquel appartient $x$.
2- Pour calculer l’aire du triangle DMN pour $x=1$, il faut chercher les aires des trois triangles lorsque $x=1$, puis soustraire la somme de ces aires de l’aire du carré.
3- Procéder de la même manière que précédemment en gardant $x$ dans chacune des expressions.
4- Déterminer la valeur à laquelle correspond les trois quarts de l’aire du carré. Utiliser une relation d’équivalence pour déterminer la valeur de $x$, connaissant combien vaut l’aire du triangle lorsque $x=1$.

Arbre de probabilité.

1- Compléter l’arbre de probabilité sachant que la somme de la probabilité d’un évènement et de la probabilité de son contraire vaut $1$: $P(A)+P(\bar{A})=1$
2- Pour trouver la phrase correspondant à l’évènement $H\cap A$ il suffit de formuler une phrase qui prend en compte à la fois l’évènement $H$ et l’évènement $A$.
3- Utiliser l’arbre de probabilité en déterminant les branches comportant l’évènement $A$. Utiliser une méthode convenable pour déterminer la probabilité à partir de ces branches.
4- Utiliser la formule de calcule de la probabilité conditionnelle.

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