Contrôle spécialité maths terminale corrigé 6: Suites numérique et dénombrement

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Sainte Marie des champs à Toulouse. Notions abordées : Détermination des asymptotes à la courbe représentative d’une fonction à partir des limites de cette fonction. Démonstration par récurrence de diverses inégalités et égalités de suites numériques, détermination de la limite d’une suite géométrique en tenant compte de la raison de la suite, application du théorème de gendarmes et étude des variations et de la convergence d’une suite numérique. Dénombrement du nombre de façon de choisir, dans des situations particulières.

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CG-MA-T-CO-6

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ÉTUDE DES ASYMPTOTES D’UNE FONCTION

1- (a) Faire une factorisation de l’expression de $f$ par le monôme du plus haut degré puis déterminer la limite.
(b) Même procédé qu’en (a).
(c) Il est facile de trouver la limite en cherchant la limite du produit du numérateur par l’inverse du dénominateur.
(d) Même procédé qu’en (c).
2- Utiliser les définitions d’asymptotes horizontale et verticale du cours pour déterminer à partir des limites trouvées les asymptotes éventuelles.

ÉTUDE DE LA SOMME D’UNE SUITE

1- Pour montrer l’égalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’égalité $S_n=\dfrac{n}{n+1}$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’égalité $u_k=\dfrac{k}{k+1}$ vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ puis conclure.
2- Utiliser l’expression de $S_n$ précédemment prouver pour déterminer la limite de $S_n$.

QUESTIONS DE COURS

1- Vérifier si l’affirmation est vraie pour toute suite $(u_n)$ vérifiant les conditions données. Sinon, trouver une contradiction à cette affirmation.
2- Déterminer le nombre de permutation et le nombre de 6-uplets d’un ensemble à 9 éléments puis faire une comparaison.
3- Déterminer le nombre de couple d’escrimeurs qu’on peut former sachant que chaque escrimeur rencontre une et une seule fois les autres escrimeurs. Faire une comparaison, puis conclure.

ÉTUDE D’UNE SUITE ASSOCIÉ À UNE SITUATION RÉELLE

1- Pour justifier que :
$a_{n+1}=0,8a_n+450$ il faut:
Déterminer le nombre correspondant au nombre d’abonnés restant d’une année $2020+n$ quelconque, sachant que 20% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement, puis y ajouter les 450 nouveaux abonnements enregistré chaque année.
2- (a) Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité $a_n\geq 2250$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité $a_k\geq 2250$ vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ puis conclure.
(b) Étudier le signe de $a_{n+1}-a_n$ en tenant compte de l’inégalité de la question précédente.
(c) Il est facile de déduire que la suite $a_n$ est une suite convergente.
3-(a) Pour montrer que $b_n$ est une suite géométrique il suffit de calculer $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$ et $b_0$.
(b) Déterminer l’expression de la suite géométrique $b_n$ et en déduire l’expression de la suite $a_n$.
(c) Déterminer la limite de $a_n$ sachant que $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$.
4- Se baser sur la limite précédemment trouver pour dire si le directeur devra fermer une salle de sport un jour ou pas.
Trouver l’année en déterminant l’entier $n$ pour lequel $a_n\leq 2500$.

DÉNOMBREMENT

1- (a) Il s’agit d’un choix au hasard de $k$ éléments non ordonnés parmi $n$ éléments.
(b) Il s’agit d’un choix au hasard de 2 éléments non ordonnés parmi 8 et du choix de 4 éléments parmi 5.
(c) Dénombrer les cas possible permettant d’obtenir au moins 2 musées parmi celles visitées. Déterminer ensuite les différentes façons de choisir les musées pour qu’il y ait au moins 2 musées parmi celles visitées pour chacun de ces cas.
2- (a) L’ordre étant considérer il suffit de déterminer le nombre de permutation des 6 éléments.
(b) Sachant que deux musées seront visitées le même jour, il suffit de remplacer les doubles visites par une visite.

UNE SUITE PARTICULIÈRE

1- Déterminer l’expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Sachant que $n\geq 15$, faire une comparaison successives de l’expression de la suite $u_{n+1}$ pour aboutir à l’inégalité demandée.
2- Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ en tenant compte de la justification de la question précédente, puis conclure.
3- Il est facile de déterminer la limite de $u_n$ en utilisant le théorème des gendarmes et sachant que $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$.

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