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Contrôle spécialité maths terminale corrigé 10: Étude de fonction, dénombrement et géométrie.

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Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Emilie de Rodat à Toulouse. Notions abordées : Démonstration par récurrence de diverses inégalités et égalités de suites numériques, étude des variations d’une suite numérique et détermination du seuil d’une suite numérique à partir d’un programme Python. Dénombrement du nombre de façon de choisir, dans diverses situations de dénombrement: tirages successif sans remise, tirage successif avec remise et tirage simultané. Étude des variations d’une fonction composée de la fonction exponentielle. Détermination des coordonnées point de l’espace dans une base donnée et preuve que des points sont coplanaires en connaissant leurs coordonnées.

Table des matières masquer
1 L’énoncé du contrôle en pdf
2 Je consulte la correction détaillée!
3 Je préfère les astuces de résolution !

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VARIATION D’UNE SUITE NUMÉRIQUE

1- Pour montrer l’égalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’égalité $u_n=4\times3^n-1$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’égalité $u_k=4\times3^k-1$ vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $k+1$ puis conclure.
2- Pour prouver le sens de variation de $v_n$ il suffit de calculer $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ et de comparer sa valeur à 1
3- Utiliser l’encadrement de $\sin(x)$ :
Pour tout $x<0$, on a: $-1\leq \sin(x)\leq 1$ et tenir compte du signe de $x-1$

ÉTUDE DE LA SOMME D’UNE SUITE

1- Utiliser l’expression de $u_{n+1}$ en remplaçant les valeurs de $n$.
2-(a) Pour prouver que la suite $v_n$ est une suite géométrique, il suffit de calculer $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ et $v_0$.
(b) Déterminer l’expression de la suite géométrique $v_n$ et en déduire l’expression de la suite $u_n$ en connaissant la relation qui lies les deux suites.
(c) Déterminer la limite de $u_n$ sachant que $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$.
(d) Remplir le programme python sachant que ce dernier fera le calcul
$u =(1/3)** n + n$ tant que $u<=2020$ et retournera la valeur de $n$ pour laquelle le condition n’est pas vraie.
3-(a) Remplacer l’expression de la suite $u_k$ dans la somme $S_n$ et appliquer la somme à chacun des termes de la suite $u_k$ comme suit:
$S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}u_k=\sum\limits_{k=0}^{n}\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^k+k\right]$
$S_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k+\sum\limits_{k=0}^{n}k$
et déterminer chacune des sommes.
(b) Utiliser l’expression de $S_n$ trouvée précédemment et faire une décomposition pour trouver la limite cherchée.

COMPOSÉE D’UNE FONCTION EXPONENTIELLE

PARTIE A:
1- Utiliser la formule
$(uv)’=u’v+v’u$
2- Étuder le signe de la fonction dérivée $g'(x)$ et calculer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son domaine de définition puis réaliser le tableau de variation.
3- Déterminer la valeur du minimum de la fonction $g$ à partir du tableau de variation de la fonction $g$ puis comparer cette valeur à $-1$
PARTIE B:
1- Justifier le domaine de définition de la fonction $f$ en se basant sur le résultat $g(x)>-1$ de la partie A.
2- Pour obtenir la limite en $-\infty$ il suffit de déterminer la limite du produit du numérateur par l’inverse du dénominateur.
3- Pour obtenir la limite en $+\infty$ il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur respectivement par leurs monôme du plus haut degré, puis déterminer la limite après simplification de l’expression obtenue.
4- Se baser sur les limites précédemment trouver pour donner les asymptotes éventuelles à la courbe de $f$.
PARTIE C:
1- Poser $g_m(x)=0$ et démontrer par équivalence successivement qu’on a $g(x)=m$.
2- Identifier à partir du tableau de variation de la fonction $g$ les valeurs possibles prise par la fonction $g$ pour donner le nombre de points d’intersections de $C_m$ avec l’axe des abscisses

LES MÉTHODES DE DÉNOMBREMENT

1- (a) Utiliser la formule d’un tirage successif avec remise de $p$ boules parmi $n$.
(b) Connaitre les cas dans lequel la première boule tirée est noire et la deuxième est rouge puis déterminer le nombre de ces cas en tenant compte de l’ordre et du tirage avec remise.
(c) Pour obtenir une boule rouge en troisième position il faut obtenir des boules rouges en première et deuxième position. Déterminer le nombre de ces cas en tenant compte de l’ordre et du tirage avec remise.
(d) Déterminer le nombre de tirages constitués que de boules noires et les rétirés du nombre total trouvé en 1-(a)
2- (a) Utiliser la formule du tirage successif sans remise de $n$ élément parmi $n$ en tenant compte de l’ordre.
(b) Savoir dans quels cas la première boule tirée est noire et la deuxième est rouge, puis déterminer le nombre de ces cas sachant qu’il s’agit d’un tirage successif sans remise.
(c) Savoir comment faire pour que la troisième boule tirée soit rouge. Pour cela il faut avoir Noire Noire Rouge et obtenir les autres boules dans n’importe quelle couleur.
3-Déterminer le nombre total de tirage de deux boules de façon simulatnée dans l’urne puis déterminer le cardinale de chacun des évènements A et B puis utiliser la formule:
$P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}$

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

PARTIE A:
1- Utiliser $\overrightarrow{UC}=2\overrightarrow{AU}$ en appliquant le relation de Chasles.
2- Placer les points U et T en utilisant $\overrightarrow{AU}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AT}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
3- Appliquer la relation de Chasles et la résultante de deux vecteurs pour exprimer les vecteurs $\overrightarrow{TU}$, $\overrightarrow{TR}$ et $\overrightarrow{TS}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
4- Utiliser les expressions de $\overrightarrow{TU}$, $\overrightarrow{TR}$ et $\overrightarrow{TS}$ précédemment trouvées pour calculer $9\overrightarrow{TU}+6\overrightarrow{TS}$
5- A partir du résultat précédent, il est facile de faire une déduction concernant les points T, U, R et S.
6- Déterminer la résultante des vecteurs $\overrightarrow{AL}$ et $\overrightarrow{AT}$ puis déduire le vecteur $\overrightarrow{AL}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$ pour obtenir la valeur de $x$.
PARTIE B:
1- Écrire les vecteurs $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AS}$, $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ pour obtenir les coordonnées des points F, S, M et N.
2- Utiliser le fait que, pour que les points F, S, M et N soient coplanaires il faut que les vecteurs obtenus à partir de ces points soient aussi coplanaires.
Ainsi, on peut resoudre l’équation obtenue à partir de l’égualité:
$\overrightarrow{FN}=\alpha\overrightarrow{FS}+\beta \overrightarrow{FM}$ pour tout réel $\alpha$ et $\beta$.

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