Contrôle spécialité maths terminale corrigé 13: Étude de fonction et géométrie dans l’espace

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Déodat de séverac à Toulouse. Notions abordées : Détermination des paramètres d’une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale, détermination de l’espérance d’une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale et calcul de la probabilité de certains évènement en utilisant la formule du binôme. Construction d’un arbre pondéré à partir d’une expérience aléatoire, détermination de la probabilité de certains évènements en se basant sur l’arbre pondéré et calcul d’une probabilité conditionnelle. Calcul de limite et détermination du domaine de dérivabilité d’une fonction et de sa dérivée.

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CG-MA-T-CO-13

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FONCTION RATIONNELLE

1- Pour déterminer les limites de la fonction $f$ en infinie il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur de la fonction $f$ par leurs monômes du plus haut degré respectivement puis de calculer la limite du résultat trouvé.
Pour déterminer les limites en 2 par valeur inférieure ou par valeur supérieure, il suffit de determiner la limite du numérateur et la limite de l’inverse du dénominateur puis faire le produit des résulats.
2- Se baser sur les résultats des limites précedemment trouvées pour donner les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction $f$.
3- Calculer la dérivée de la fonction $f$ en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction rationnelle:
$\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$
4- Étudier le signe d’abord le signe de la fonction dérivée de $f$ puis déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
5- (a) La tangente cherchée étant parallèle à la droite $d_1$ alors elles ont le même coefficient directeur. Déterminer le ou les points d’abscisses $x_0$ en lesquels la courbe $\mathcal{C}_f$ admet des tangentes ayant le coefficient directeur précédemment trouvé.
(b) Il est facile de trouver la conjecture de l’asymptote oblique. Rendre l’expression $f(x)-(x+5)$ au même dénominateur, puis déterminer sa limite après simplification. Confirmer la conjecture.
(c) Donner la conjecture du centre de symétrie en se basant sur des exemples de symétries par ce point.
Confirmer enfin la conjecture en remplaçant les coordonnées du point donné dans l’expression :
$f(a-x)+f(a+x)=2b$

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

1- Il est facile de donner les coodonnées des points $B, C , D$ et $A$.
Déterminer les coordonnées des points $I$ et $J$ sachant qu’ils sont respectivement milieux des segments $[BA]$ et $[DC]$
2- (a) Utiliser le fait que le quadrilatère $IACE$ soit un parallélogramme et obtenir à partir de l’égalité suivante celle recherchée: $\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{AC}$. Donner ensuite les coordonnées du point $E$ dans le repère donné.
(b) Déterminer dans le parallélogramme $IBDF$ la résultante des vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BD}$. Donner ensuite les coordonnées du point $F$ dans le repère donné.
3- (a) Connaissant les coordonnées des points $E$, $F$ et $J$ il est facile de déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EJ}$.
(b) En étant attentif aux coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EJ}$ il est facile de remarquer le lien entre ces derniers.
4- (a) Pour donner la représentation paramétrique de la droite $(EF)$ on peut utiliser la formule de la représentation paramétrique en prenant le vecteur $\overrightarrow{EF}$ comme vecteur directeur.
(b) Placer le point $H$ dans le repère, puis vérifier si ce dernier est sur la droite $(EF)$ : on peut aussi remplacer les coordonnées de $H$ dans l’expression de la représentation de la droite $(EF)$.
5- Vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires, puis conclure.

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