Contrôle spécialité maths terminale corrigé 13: Étude de fonction et géométrie dans l’espace

FONCTION RATIONNELLE

1- Pour déterminer les limites de la fonction $f$ en infinie il suffit de factoriser le numérateur et le dénominateur de la fonction $f$ par leurs monômes du plus haut degré respectivement puis de calculer la limite du résultat trouvé.
Pour déterminer les limites en 2 par valeur inférieure ou par valeur supérieure, il suffit de determiner la limite du numérateur et la limite de l’inverse du dénominateur puis faire le produit des résulats.
2- Se baser sur les résultats des limites précedemment trouvées pour donner les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de la fonction $f$.
3- Calculer la dérivée de la fonction $f$ en utilisant la formule de la dérivée d’une fonction rationnelle:
$\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-v’u}{v^2}$
4- Étudier le signe d’abord le signe de la fonction dérivée de $f$ puis déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
5- (a) La tangente cherchée étant parallèle à la droite $d_1$ alors elles ont le même coefficient directeur. Déterminer le ou les points d’abscisses $x_0$ en lesquels la courbe $\mathcal{C}_f$ admet des tangentes ayant le coefficient directeur précédemment trouvé.
(b) Il est facile de trouver la conjecture de l’asymptote oblique. Rendre l’expression $f(x)-(x+5)$ au même dénominateur, puis déterminer sa limite après simplification. Confirmer la conjecture.
(c) Donner la conjecture du centre de symétrie en se basant sur des exemples de symétries par ce point.
Confirmer enfin la conjecture en remplaçant les coordonnées du point donné dans l’expression :
$f(a-x)+f(a+x)=2b$