Contrôle spécialité maths terminale corrigé 7: Suites numériques et loi binomiale

ÉTUDE D’UNE SUITE ASSOCIÉE À UNE SITUATION RÉELLE

1- Il est facile de donner une conjecture du sens de variation et de la limite de la suite $T_n$ en tenant compte de la situation dans laquelle on se trouve.
2- Il suffit de remplacer dans l’expression
$T_{n+1}-T_n=k(T_n-M)$
$k$ et $M$ par leurs valeurs respectives puis de chercher $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
3- Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité $T_n\geq 10$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité $T_m\geq 10$ vraie pour tout entier $m$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $m+1$ puis conclure.
Pour déduire le sens de variation de $T_n$ il suffit d’étudier le signe de $T_{n+1}-T_n$ en tenant compte du fait que $T_n\geq 10$ pour tout entier naturel $n$.
4- Il est facile de dire si la suite $(T_n)$ est convergente ou pas.
5- (a) Pour montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique il suffit de calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et $u_0$.
(b) Déterminer de ce qui précède l’expression de la suite géométrique $(u_n)$ et en déduire l’expression de la suite $T_n$ sachant que $u_n=T_n-10$.
(c) Utiliser l’expression précédente de $T_n$ et déterminer la limite de $T_n$ sachant que $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$.
Donner la signification de ce résultat en terme des limites.
6- Utiliser le tableau de sa calculatrice pour donner la valeur de $n$ chercher.
7- Écire une fonction python qui incrémentera la valeur de l’entier $n$ initialisée à 1 tant que le résultat du calcul $70*(0,8)**n+10$ est supérieur ou égal à un seuil donné.