Contrôle spécialité maths terminale corrigé 7: Suites numériques et loi binomiale

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Sainte Marie des champs à Toulouse. Notions abordées : Détermination de la nature d’une suite numérique, démonstration par récurrence, étude de la convergence d’une suite numérique, étude d’une suite géométrique et utlisation d’un programme python dans l’étude d’une suite géométrique. Étude d’une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale, calcul des probabilités d’évènements, et interpretation d’une situation à partir de la détermination de l’espérance d’une variable aléatoire.

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CG-MA-T-CO-7

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ÉTUDE D’UNE SUITE ASSOCIÉE À UNE SITUATION RÉELLE

1- Il est facile de donner une conjecture du sens de variation et de la limite de la suite $T_n$ en tenant compte de la situation dans laquelle on se trouve.
2- Il suffit de remplacer dans l’expression
$T_{n+1}-T_n=k(T_n-M)$
$k$ et $M$ par leurs valeurs respectives puis de chercher $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
3- Pour montrer l’inégalité par récurrence, faire:
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel l’inégalité $T_n\geq 10$ est vraie.
Hérédité:
Supposer l’inégalité $T_m\geq 10$ vraie pour tout entier $m$ supérieur à l’entier trouvé lors de l’initialisation et montrer quelle est vraie à l’ordre $m+1$ puis conclure.
Pour déduire le sens de variation de $T_n$ il suffit d’étudier le signe de $T_{n+1}-T_n$ en tenant compte du fait que $T_n\geq 10$ pour tout entier naturel $n$.
4- Il est facile de dire si la suite $(T_n)$ est convergente ou pas.
5- (a) Pour montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique il suffit de calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et $u_0$.
(b) Déterminer de ce qui précède l’expression de la suite géométrique $(u_n)$ et en déduire l’expression de la suite $T_n$ sachant que $u_n=T_n-10$.
(c) Utiliser l’expression précédente de $T_n$ et déterminer la limite de $T_n$ sachant que $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$.
Donner la signification de ce résultat en terme des limites.
6- Utiliser le tableau de sa calculatrice pour donner la valeur de $n$ chercher.
7- Écire une fonction python qui incrémentera la valeur de l’entier $n$ initialisée à 1 tant que le résultat du calcul $70*(0,8)**n+10$ est supérieur ou égal à un seuil donné.

LA LOI BINOMIALE

1- (a) Remarquer que, la variable aléatoire réelle $X$, est associée à une situation dans laquelle, une expérience aléatoire qui est une épreuve de Bernoulli a été répété de façon indépendante, plusieurs fois.
(b) Savoir que lorsqu’une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ alors :
$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
Puis utiliser cette formule pour calculer la probabilité demandée.
(c) Utiliser la formule précédente pour le calcul de la probabilité demandée.
2- (a) Justifier l’égalité en tenant compte du fait qu’un trajet coûte 10 euros et en cas de fraude, l’amende est de 100 euros. Sans oublié que Théo fraude systématiquement lors des 40 trajets étudiés.
(b) Calculer l’espérance de $E(X)$ et en déduire l’espérance de $E(Z)$.
3- (a) Déduire à partir de la valeur de l’espérance $E(Z)$ si la fraude systématique est favorable à Théo.
(b) Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle l’espérance $E(Z)<0$.

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