Contrôle spécialité maths terminale corrigé 8: Dénombrement et étude de fonctions

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en terminale aux premières du lycée Sainte Marie des champs à Toulouse. Notions abordées : Détermination de l’équation d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction. Étude des asymptotes à la courbe représentative d’une fonction en utilisant les limites de cette fonction aux bornes du domaine de définition. Étude et représentation du tableau de variation d’une fonction. Détermination d’un nombre de choix possible d’un tirage simultané. Étude d’une suite numérique passant par l’étude d’une fonction. Et la mise en application de la démonstration par récurrence pour la preuve d’une relation.

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CG-MA-T-CO-8

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ÉTUDE DE FONCTION

1- Utiliser la définition de l’antécédant d’une fonction pour déterminer l’antécédant de 1 par $f$.
2- (a) Déterminer d’abord le domaine de définition de $f$ puis montrer quelle est dérivable sur ce domaine.
(b) Utiliser la dérivabilité d’une fonction rationnelle pour déterminer la dérivée de la fonction $f$.
(c) Remplacer $0$ dans l’expression de $f’$ précédemment trouvée. Donner une interpretation de la valeur de $f'(0)$ en se basant sur le cours.
3- (a) Chercher les limites de $f$ en + ou – infini en sachant que cette limite est celle du quotient du monôme du plus haut degré du numérateur divisé par le monôme du plus haut degré du dénominateur.
(b) Utiliser les limites précédemment trouvées en se basant sur le cours pour donner les interprétations graphiques.
4- Étudier d’abord le signe de la fonction dérivée de la fonction $f$ puis représenter le tableau de variation à partir de cette étude.
5- (a) Déterminer le coefficient directeur de la tangente en 0 puis sachant que cette tangente passe par un point donné, déterminer son ordonné à l’origine.
(b) Résoudre le système d’équation formée à partir de l’équation de la tangente et de l’équation $y=f(x)$.

DÉNOMBREMENT DANS UN JEU DE CARTE

1- Savoir à quoi correspond un tirage de 8 éléments de façon simultannée parmi 32 éléments non ordonnés.
2- Faire la même chose que la question précédente, mais avec un tirage différent.
3- Savoir à quoi correspond un changement de position de huit éléments ordonnés.

ÉTUDE D’UNE SUITE

1- Remplacer $n$ par 0 dans $u_{n+1}$ pour trouver $u_1$.

2- (a) Pour montrer la relation par récurrence faire :
Initialisation:
Trouver un entier pour lequel la relation est vraie.
Hérédité:
Supposer la relation précédente vraie pour tout entier $k$ supérieur à l’entier trouvé en initialisation puis montrer que cette relation est vraie jusqu’à l’ordre $k+1$ en passant par la croissante de la fonction $f$.
(b) Utiliser la relation précédemment montrer pour déterminer le sens de variation de la suite $u_n$.
(c) Il est facile de déduire de la convergence de la suite $(u_n)$ en se basant sur les résultats précédents.
3- (a) Calculer $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ pour montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
(b) Déterminer le premier terme de la suite $v_n$ puis utiliser la formule $v_0\times q^n$.
(c) Utiliser l’expression précédente de $v_n$ et la relation existante entre $v_n$ et $u_n$ pour déterminer l’expression de $u_n$.
(d) Faire des transformations sur l’expression de la suite $u_n$ puis chercher la limite de la suite $u_n$.
4- Résoudre l’équation $f(x)=x$ puis déduire de ce qui précède la limite recherchée.

DÉNOMBREMENT

1- Savoir à quoi correspond un tirage simulatné, et déterminer le nombre de tirage possible dans ce cas.
2- Un tirage est composé de trois boules noires lorsque toutes les boules sont tirées parmi les seules boules noires dans le sac.
3- Un tirage est composé de trois boules de couleurs différentes lorsqu’on tire une boule dans chacune des trois couleurs de boules dans le sac.
4- Déterminer le nombre de tirage qui sont constitués de boules de couleurs différentes puis utilisé la formule permettant de calculer la probabilté d’un évènement $A$: $P(A)=\dfrac{Card(A)}{Card(\Omega)}$

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