Contrôle corrigé seconde 7: Ensembles

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en seconde aux premières du lycée Saint-Sernin à Toulouse. Notions abordées : Donnons une écriture simplifiée de chaque nombre puis déterminons le plus petit ensemble auquel appartient chacun d’eux, Donnons un irrationnel compris entre $\frac{3}{2}$ et $\frac{5}{3}$, Donnons un encadrement décimal d’un nombre puis son arrondi au millième près, Calculons la longueur d’onde puis donnons sa valeur en notation scientifique, Résolvons par calcul les équations ou inéquations, Calculons la distance entre les réels

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Enonce-Controle-7

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Plus petit ensemble

1)

$ \bullet \mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : $\mathbb{N}$ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

$ \bullet \mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs, il contient les entiers naturels et leurs opposés.

$$\mathbb{Z} = {… ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}$$

$ \bullet \mathbb{D}$ est l’ensemble des nombres décimaux.
Un nombre décimal peut s’écrire comme quotient d’un entier (naturel ou relatif) avec une puissance dix au dénominateur.
Il se présente souvent écrit avec une virgule et un nombre de chiffres finis après la virgule : on dit qu’il a une partie décimale finie.

$ \bullet \mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres rationnels (on dit aussi fractionnaires).
Ce sont les quotients d’un entier relatif par un entier naturel non nul.

Exemples : (3/7 ; -11/39 ; …)

L’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
Tout nombre décimal est un nombre rationnel ; $\mathbb{Q}$ contient $\mathbb{D}$.
Certains rationnels, pas tous, ont une écriture décimale :

Exemple: 1/4 = 0,25 est un décimal, mais pas 9/7

$ \bullet \mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels.
Il contient tous les ensembles précédents.
Notons que les irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

2) Pour mener à bien la résolution de cette question, calculer $\frac{\pi}{2}$ à $10^{-2}$ près puis comparer avec les valeurs des nombres $\frac{3}{2}$ et $\frac{5}{3}$ qui sont respectivement 1.50 et 1.66 à $10^{-2}$ près.

Intervalles

Pour aboutir à une bonne résolution de cet exercice vous devez représenter les intervalles à l’aide d’une droite graduée afin de vérifier chacune des appartenance ou non et chacun des résultats qui nous ont permis de remplir le tableau

Intervalles et inégalités

Rappelons que les mots de liaison: “et” , “ou” font respectivement allusion à l’intersection ($\cap$) et à l’union ($\cup$)

Encadrement d’un nombre et arrondi au millième près

Arrondi un nombre au millième près ($10^{-3}$) consiste à arrondir à 3 chiffres après la virgule.

\underline{Exemple}: L’arrondi de 9,03657 est 9,037 car le quatrième chiffre après la virgule est 5.

Longueur d’onde et notation scientifique

$\lambda=\frac{c}{f}$

c : La célérité de la lumière (m/s)
f : La fréquence en Hertz (hz)
$\lambda$ : La longueur d’onde (m)

D’une façon générale, l’écriture scientifique, c’est l’écriture sous la forme d’un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9, multiplié par une puissance de 10. La partie entière d’un nombre décimal, c’est ce qu’il y avant la virgule (à gauche).C’est elle qui doit être entre 1 et 9.

Équations et inéquations

1) Méthode de résolution d’une équation

$\bullet$ Isoler la valeur absolue d’un côté de l’égalité.

$\bullet$ Appliquer la définition de la valeur absolue

$$|x|=a \Rightarrow x=a \,\,ou\,\, x=-a$$

$\bullet$ Résoudre les deux équations obtenues précédemment.

$\bullet$ Vérifier les solutions.

$\bullet$ Donner l’ensemble solution

2) Méthode de résolution d’une inéquation

$\bullet$ Remplacer le symbole d’inégalité par le symbole d’égalité:

$|x| \leqslant a \Rightarrow -a \leqslant x \leqslant a$

$ x \geqslant a \Rightarrow \left\{x>a \,\,ou\,\, x<-a \right.$

$\bullet$ Isoler la valeur absolue.

$\bullet$ Appliquer la définition de la valeur absolue tout en indiquant les restrictions.

$\bullet$ Résoudre les deux équations obtenues précédemment.

$\bullet$ Vérifier les solutions.

$\bullet$ Donner l’ensemble solution.

Distance entre les réels

La distance entre deux réels a et b est définie par:

$$d(a;b)=|a-b|$$

La distance entre deux réels est un nombre positif ou nul (si les deux nombres a et b sont égaux).

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