Contrôle corrigé seconde 5 : Ensembles, Arithmétique, Géométrie.

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Controles corrigés cours galilée

Contrôle corrigé de mathématiques donné en seconde aux premières du lycée Caousou à Toulouse. Notions abordées : Détermination du plus petit ensemble de nombres auquel appartient certains nombres, Justification que 208 est un multiple de 13, Montrons qu’un nombre est décimal, Montrons que b est un nombre rationnel non décimal, Comparons justification à l’appui deux nombres, Détermination d’un nombre décimal strictement compris entre a et b, Encadrement à $10^{-3}$ près et à $10^{-5}$ près, Détermination des longueurs possibles d’un terrain rectangulaire, Décomposition en produit de facteurs premiers, Traduction d’un programme de calcul en algorithme.

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Nombres

1-1)
$ \bullet \mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : $\mathbb{N}$ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}


$ \bullet \mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs, il contient les entiers naturels et leurs opposés.
$$\mathbb{Z} = {… ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}$$

$ \bullet \mathbb{D}$ est l’ensemble des nombres décimaux.
Un nombre décimal peut s’écrire comme quotient d’un entier (naturel ou relatif) avec une puissance dix au dénominateur.
Il se présente souvent écrit avec une virgule et un nombre de chiffres finis après la virgule : on dit qu’il a une partie décimale finie.

$ \bullet \mathbb{Q}$ est l’ensemble des nombres rationnels (on dit aussi fractionnaires).
Ce sont les quotients d’un entier relatif par un entier naturel non nul
Exemples : (3/7 ; -11/39 ; …)
L’ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
Tout nombre décimal est un nombre rationnel ; $\mathbb{Q}$ contient $\mathbb{D}$.
Certains rationnels, pas tous, ont une écriture décimale :

Exemple: 1/4 = 0,25 est un décimal, mais pas 9/7

$ \bullet \mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels.
Il contient tous les ensembles précédents.
Notons que les irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

1-2) Retenons la formule suivante:

dividende=diviseur $\times$ quotient + reste

1-3) Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffre après la virgule.

1-4) Trouver un encadrement à $10^{-3}$ près veut dire que pour chaque nombre devant encadrer le nombre à encadrer nous devons avoir trois (03) chiffres après la virgule

Concernant l’encadrement à $10^{-5}$ près nous devons obtenir cinq (05) chiffres après la virgule.

1-5) Le principe reste le même que celui utilisé précédemment en (1-2).

1-6) Ici le calcul de la racine carrée de 50 nous a permis de savoir que le choix des diviseurs de 50 devrait se faire entre 1 et 7.

1-7) L’objectif de la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers est de décomposer ce nombre de sorte à lui trouver un nombre premier car un nombre premier ne peut être décomposé en produit de plusieurs nombres premiers(on peut aussi dire qu’il est sa propre décomposition). Quant au nombre 1, c’est le produit vide.

Algorithmique

Pour résoudre un exercice d’algorithmique commencez d’abord par retenir que ces 3 étapes (méthode, vérification, et résultat) vous seront très utiles.

Ci-dessous, vous avez la démarche de résolution d’un exercice d’algorithmique

$\bullet$ Expliciter une méthode générique de résolution pour résoudre des problèmes équivalents à celui qui est posé;

$\bullet$ Expliciter une technique alternative ou complémentaire pour vérifier le résultat obtenu en appliquant la méthode générique;

$\bullet$ Appliquer la méthode générique de résolution et la technique de vérification au cas particulier de l’énoncé pour obtenir le résultat attendu par l’exercice.

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