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Contrôle corrigé seconde 4 : Ensembles, Arithmétique

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Cours de mathématiques en ligne

Contrôle corrigé de mathématiques donné en seconde aux premières du lycée Caousou à Toulouse. Notions abordées : Déterminons I ∪ J en utilisant une représentation graphique, Vérifions si le nombre -1 appartient à I ∩ J, Déterminons le nombre de départ, Vérifions si le nombre 71 est premier, Donnons la liste de tous les diviseurs de 12 puis de 16, Montrons que 12 et 16 ne sont pas amicaux, Montrons que 220 et 284 sont amicaux, Indiquons la formule à saisir dans une cellule pour connaître le reste d’une division en utilisant la fonction MOD, Indiquons la formule à saisir dans une cellule pour vérifier si un nombre est multiple d’un autre en utilisant la fonction SI, Donnons un exemple de nombre N impair qui s’écrit comme somme de carrés de deux autres entiers, Démontrer que N est de la forme 4k + 1 avec k ∈ N, Trouvons un exemple de nombre impair de la forme (4k + 1), avec k ∈ N, qui soit pas égal à une somme de deux carrés.

Table des matières masquer
1 L’énoncé du contrôle en pdf
2 Je consulte la correction détaillée!
3 Je préfère les astuces de résolution !

téléchargement pdfL’énoncé du contrôle en pdf

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correction Je consulte la correction détaillée!

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astuces de résolution Je préfère les astuces de résolution !

Les intervalles, c’est trop facile!

1) Pour bien compléter ce tableau vous aurez à utiliser les formules suivantes:
$\forall a<b $ on a:

$\bullet ]a,b] \Rightarrow a< x \leqslant b $

$\bullet [a,+\infty[ \Rightarrow a \leqslant x $ ou $ x \geqslant a $

$\bullet ]-\infty,b[ \Rightarrow x < b $

2-a) Par définition, x$\in ]-\infty,A] \Rightarrow x \leqslant A $

b) Trouver $A \cup B$ revient à chercher le plus grand ensemble (intervalle) de $A \cup B$ tel que: $A\subset( A \cup B$) et $B\subset (A \cup B$)
De plus, si $x \in A\cup B$ alors x$\in $A ou x$\in$B

c) L’appartenance d’un nombre à un ensemble (intervalle) revient à voir si le nombre est élément de l’ensemble (intervalle).

Mais quel est ce nombre?

Par définition, si b divise a on a:

a=(b $\times$ q) + r

avec :

a : dividende
b : diviseur
r : reste
q : quotient

Copains ou pas?

1) Pour tester si un nombre a est premier, on essaie de le diviser par tous les nombres premiers entre 1 et racine de a.

2) Ici le calcul de la racine carrée de 12 nous a permis de savoir qu’on peut s’arrêter à la racine carrée du nombre en question et pareil pour le nombre 16.


3) Deux entiers naturels sont dites amicaux si chacun est égal à la somme de ces diviseurs, autres que lui-même, de l’autre.

Pour bien résoudre cet exercice il faut d’abord déterminer les diviseurs de chacun des deux nombres puis faire la somme des diviseurs autres que lui-même, de l’autre pour chaque cas.

Multiple de 7

Pour bien résoudre les questions 1 et 2 de cet exercice, connaître la définition suivante:
Un nombre “n est dit multiple de 3” si 3 divise n et qu’après division l’on obtient un reste égal à zéro (0).

3) Si vous vous perdez dans l’insertion des formules sous excel voici ci-dessous pour vous la démarche à adopter:

Pour bien résoudre les questions 1 et 2 de cet exercice, connaître la définition suivante:

$\bullet$ Créer votre fichier Excel puis reproduire le tableau

$\bullet$ Pour trouver le reste de la cellule B2 mettre le curseur dans la case B2

$\bullet$ Cliquez ensuite sur “Formules” dans le menu Excel

$\bullet$ Cliquez sur “Insérer une fonctions”

$\bullet$ Choisir la fonction “MOD” puis choisir les valeurs a entrée comme trouver dans la formule

$\bullet$ Ainsi fait vous obtenez le résultat recherché

La démarche reste le même pour la question b

c) Le choix ici du mot “oui” vient du résultat obtenu après remplissage de notre tableau avec la fonction “SI” sous Excel

Impairs et somme de deux carrés font-ils la paire?

1) Un nombre est dit:

$\bullet$ Pair si elle peut s’écrire sous la forme n=2k avec k $\in \mathbb{N}$

$\bullet$ Impair si elle peut s’écrire sous la forme n=2k+1 avec k $\in \mathbb{N}$


2) Le tableau suivant résume l’astuce parfait pour bien résoudre cette question

\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
+&P&I\\
\hline
P&P&I\\
\hline
I&I&P\\
\hline
\end{array}

avec P: pair et I: impair

$\bullet$ S’agissant des questions 3, 4 et 5 suivantes la question 1 précédente résume l’astuce pour comprendre les réponses obtenue.

Vrai/Faux à justifier

$\bullet$ On dit qu’un nombre “n est multiple de 3” si 3 divise n et qu’après division l’on obtient un quotient parfait et un reste égal à zéro (0)


$\bullet$ Le “quotient” d’une division est dit “parfait” s’il est un entier


$\bullet$ Un nombre “n” est dit “pair” si n peut s’écrire sous la forme: $n=2k$ avec k un entier

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