Premi̬re РPolyn̫mes du second degr̩

1.Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équations demandée sans utiliser le discriminant.

$-7x^2+14=0$

$\Leftrightarrow -7(x^2-2)=0$ On factorise par $-7$

$\Leftrightarrow x^2-2=0 $ En divisant les deux côtés par $-7$

$\Leftrightarrow x^2=2$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2} \text{ ou } x=-\sqrt{2}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$

2.Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équations demandée sans utiliser le discriminant.

$x^2-4x=0$

$\Leftrightarrow x(x-4)=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x-4=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=4$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $0$ et $4$

1.

$(x-3)^2-(x-2)(x-3)=0 $

$\Leftrightarrow (x-3)\left[(x-3)-(x-2)\right]=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x-3-x+2)=0$

$\Leftrightarrow -(x-3)=0$

$\Leftrightarrow x-3=0$

$\Leftrightarrow x=3$

Ainsi, l’équation admet une unique solution qui est $3$

2.

$3x^2-12+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow 3(x^2-4)+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow 3(x-2)(x+2)+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)[3(x+2)+2]=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(3x+8)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0 \text{ ou } 3x+8=0$

$\Leftrightarrow x=2 \text{ ou } x=-\dfrac{8}{3}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont : $2$ et $-\dfrac{8}{3}$

3.$(x+3)^2-(5x-2)^2=0$

$\Leftrightarrow [(x+3)-(5x-2)]\times$$ \qquad [(x+3)+(5x-2)]=0$

$ \Leftrightarrow (x+3-5x+2)(x+3+5x-2)=0$

$ \Leftrightarrow (5-4x)(6x+1)=0$

$\Leftrightarrow 5-4x=0 \text{ ou } 6x+1=0$

$ \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4} \text{ ou } x=-\dfrac{1}{6}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont : $\dfrac{5}{4}$ et $-\dfrac{1}{6}$

4. $(2\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2}x-4)=-12$

$\Leftrightarrow 4x^2-8\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-12=-12$

$ \Leftrightarrow 4x^2-5\sqrt{2}x=0$

$\Leftrightarrow x(4x-5\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } 4x-5\sqrt{2}=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

5.$9x^2-4=(3x-2)(x-5)$

$\Leftrightarrow (3x)^2 -2^2-(3x-2)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(3x+2)-(3x-2)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)[(3x+2)-(x-5)]=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(3x+2-x+5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(2x+7)=0$

$\Leftrightarrow 3x-2=0\text{ ou } 2x+7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{7}{2}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{7}{2}$

6. $49-16(x-3)^2=0$

$\Leftrightarrow 7^2-[4(x-3)]^2=0$

$\Leftrightarrow [7-4(x-3)][7+4(x-3)]=0$

$\Leftrightarrow (7-4x+12)(7+4x-12)=0$

$\Leftrightarrow (19-4x)(4x-5)=0$

$\Leftrightarrow 19-4x=0 \text{ ou } 4x-5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{19}{4} \text{ ou } x=\dfrac{5}{4}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\dfrac{19}{4}$ et $\dfrac{5}{4}$

1.Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équations demandée sans utiliser le discriminant.

$-7x^2+14=0$

$\Leftrightarrow -7(x^2-2)=0$ On factorise par $-7$

$\Leftrightarrow x^2-2=0 $ En divisant les deux côtés par $-7$

$\Leftrightarrow x^2=2$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{2} \text{ ou } x=-\sqrt{2}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$

2.Résolvons dans $\mathbb{R}$ l’équations demandée sans utiliser le discriminant.

$x^2-4x=0$

$\Leftrightarrow x(x-4)=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x-4=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=4$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $0$ et $4$

1.

$(x-3)^2-(x-2)(x-3)=0 $

$\Leftrightarrow (x-3)\left[(x-3)-(x-2)\right]=0$

$\Leftrightarrow (x-3)(x-3-x+2)=0$

$\Leftrightarrow -(x-3)=0$

$\Leftrightarrow x-3=0$

$\Leftrightarrow x=3$

Ainsi, l’équation admet une unique solution qui est $3$

2.

$3x^2-12+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow 3(x^2-4)+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow 3(x-2)(x+2)+2(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)[3(x+2)+2]=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(3x+8)=0$

$\Leftrightarrow x-2=0 \text{ ou } 3x+8=0$

$\Leftrightarrow x=2 \text{ ou } x=-\dfrac{8}{3}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont : $2$ et $-\dfrac{8}{3}$

3.$(x+3)^2-(5x-2)^2=0$

$\Leftrightarrow [(x+3)-(5x-2)]\times$$ \qquad [(x+3)+(5x-2)]=0$

$ \Leftrightarrow (x+3-5x+2)(x+3+5x-2)=0$

$ \Leftrightarrow (5-4x)(6x+1)=0$

$\Leftrightarrow 5-4x=0 \text{ ou } 6x+1=0$

$ \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4} \text{ ou } x=-\dfrac{1}{6}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont : $\dfrac{5}{4}$ et $-\dfrac{1}{6}$

4. $(2\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2}x-4)=-12$

$\Leftrightarrow 4x^2-8\sqrt{2}x+3\sqrt{2}x-12=-12$

$ \Leftrightarrow 4x^2-5\sqrt{2}x=0$

$\Leftrightarrow x(4x-5\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } 4x-5\sqrt{2}=0$

$\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$

5.$9x^2-4=(3x-2)(x-5)$

$\Leftrightarrow (3x)^2 -2^2-(3x-2)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(3x+2)-(3x-2)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)[(3x+2)-(x-5)]=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(3x+2-x+5)=0$

$\Leftrightarrow (3x-2)(2x+7)=0$

$\Leftrightarrow 3x-2=0\text{ ou } 2x+7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{7}{2}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\dfrac{2}{3}$ et $-\dfrac{7}{2}$

6. $49-16(x-3)^2=0$

$\Leftrightarrow 7^2-[4(x-3)]^2=0$

$\Leftrightarrow [7-4(x-3)][7+4(x-3)]=0$

$\Leftrightarrow (7-4x+12)(7+4x-12)=0$

$\Leftrightarrow (19-4x)(4x-5)=0$

$\Leftrightarrow 19-4x=0 \text{ ou } 4x-5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{19}{4} \text{ ou } x=\dfrac{5}{4}$

Ainsi, les solutions de l’équation sont $\dfrac{19}{4}$ et $\dfrac{5}{4}$

1) Pour qu’un quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, il faut que:$$overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$$

2) Trois points A,B et C sont alignés si $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ ou $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{BC}$ sont colinéaires

3) Pour deux points A ($x_{A} , y_{A}$) et B ($x_{B} , y_{B}$) le milieu du segment [AB] a pour coordonnée:$$x=frac{x_{B}+x_{A}}{2}$$ $$text{et}$$ $$y=frac{y_{B}+y_{A}}{2}$$

4) Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

5) La norme d’un vecteur $vec{u} (x,y)$ est donnée par l’expression:$$||vec{u}||=sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

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1) Pour qu’un quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, il faut que:$$overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$$

2) Trois points A,B et C sont alignés si $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ ou $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{BC}$ sont colinéaires

3) Pour deux points A ($x_{A} , y_{A}$) et B ($x_{B} , y_{B}$) le milieu du segment [AB] a pour coordonnée:$$x=frac{x_{B}+x_{A}}{2}$$ $$text{et}$$ $$y=frac{y_{B}+y_{A}}{2}$$

4) Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

5) La norme d’un vecteur $vec{u} (x,y)$ est donnée par l’expression:$$||vec{u}||=sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

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