Premi̬re РD̩rivation Locale

Lisons sur le graphique les valeur de: $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-2)=-1$
$f(-1)=3$
$f(1)=-1$ et
$f(2)=3$.

Calculons le taux de variation de $f$ entre:
a)  -2  et  -1 :
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-2$ et $-1$.
$\tau_1=\dfrac{f(-2)-f(-1)}{-2-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{-1-3}{-2+1}=\dfrac{-4}{-1}=4$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-2$ et $-1$ est égal à $4$.

b)  -1  et   1 :
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_2=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $-2$.

c)   1  et   2 :
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$
$\tau_3=\dfrac{3-1}{1}=\dfrac{2}{1}=2$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$ est égal à $-2$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x^2$.

Calculons $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-1)=(-1)^2=1$
$f(0)=0^2=0$
$f(1)=1^2=1$
$f(2)=2^2=4$

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:
a)  -1    et   0 :
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $0$.
$\tau_1=\dfrac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{0-1}{1}=-1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $0$ est égal à $-1$.

b)   -1   et   1 :
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_2=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{1-1}{2}=0$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $0$.

c)   0   et   2 :
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$
$\tau_3=\dfrac{4-0}{2}=2$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $2$ est égal à $2$.

d)   -1   et   2 :
Soit $\tau_4$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$.
$\tau_4=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$
$\tau_4=\dfrac{4-1}{2+1}=1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$ est égal à $1$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par: $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

Calculons d’abord $f(-1)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1$
$f(1)=\dfrac{1}{1}=1$
$f(2)=\dfrac{1}{2}$

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:

a)  -1   et   1:
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_1=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{1-(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $1$.

b)  -1  et   2:
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$.
$\tau_2=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{\dfrac{1}{2}-(-1)}{2+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+1}{3}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

c)  1    et   2:
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$
$\tau_3=\dfrac{\dfrac{1}{2}-1}{1}=-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$ est égal à $-\dfrac{1}{2}$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par: $f(x)=\sqrt{x}$.

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:
a) 1  et    4:
$f(1)=\sqrt{1}=1$ et $f(4)=\sqrt{4}=2$.
Soit $\tau_1$ le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$.
$\tau_1=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac{1}{4}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$ est égal à $\dfrac{1}{4}$.

b) 1  et   9:
$f(1)=1$ et $f(9)=\sqrt{9}=3$.
Soit $\tau_2$ le taux de variation de $f$ entre $1$ et $9$.
$\tau_2=\dfrac{f(9)-f(1)}{9-1}=\dfrac{3-1}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $1$ et $9$ est égal à $\dfrac{1}{4}$.

c) 4   et   9:
$f(4)=2$ et $f(9)=3$.
Soit $\tau_3$ le taux de variation de $f$ entre $4$ et $9$.
$\tau_3=\dfrac{f(9)-f(4)}{9-4}=\dfrac{3-2}{5}=\dfrac{1}{5}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $9$ et $4$ est égal à $\dfrac{1}{5}$.

Lisons sur le graphique les valeur de: $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-2)=-1$
$f(-1)=3$
$f(1)=-1$ et
$f(2)=3$.

Calculons le taux de variation de $f$ entre:
a)  -2  et  -1 :
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-2$ et $-1$.
$\tau_1=\dfrac{f(-2)-f(-1)}{-2-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{-1-3}{-2+1}=\dfrac{-4}{-1}=4$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-2$ et $-1$ est égal à $4$.

b)  -1  et   1 :
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_2=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $-2$.

c)   1  et   2 :
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$
$\tau_3=\dfrac{3-1}{1}=\dfrac{2}{1}=2$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$ est égal à $-2$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=x^2$.

Calculons $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-1)=(-1)^2=1$
$f(0)=0^2=0$
$f(1)=1^2=1$
$f(2)=2^2=4$

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:
a)  -1    et   0 :
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $0$.
$\tau_1=\dfrac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{0-1}{1}=-1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $0$ est égal à $-1$.

b)   -1   et   1 :
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_2=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{1-1}{2}=0$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $0$.

c)   0   et   2 :
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}$
$\tau_3=\dfrac{4-0}{2}=2$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $2$ est égal à $2$.

d)   -1   et   2 :
Soit $\tau_4$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$.
$\tau_4=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$
$\tau_4=\dfrac{4-1}{2+1}=1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$ est égal à $1$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par: $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

Calculons d’abord $f(-1)$, $f(1)$ et $f(2)$.
$f(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1$
$f(1)=\dfrac{1}{1}=1$
$f(2)=\dfrac{1}{2}$

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:

a)  -1   et   1:
Soit $\tau_1$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$.
$\tau_1=\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$\tau_1=\dfrac{1-(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $1$ est égal à $1$.

b)  -1  et   2:
Soit $\tau_2$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$.
$\tau_2=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$
$\tau_2=\dfrac{\dfrac{1}{2}-(-1)}{2+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+1}{3}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{3}=\dfrac{1}{2}$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $-1$ et $2$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.

c)  1    et   2:
Soit $\tau_3$ le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$.
$\tau_3=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$
$\tau_3=\dfrac{\dfrac{1}{2}-1}{1}=-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$.
D’où le taux de variation de la fonction $f$ entre $1$ et $2$ est égal à $-\dfrac{1}{2}$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par: $f(x)=\sqrt{x}$.

Déterminons le taux de variation de $f$ entre:
a) 1  et    4:
$f(1)=\sqrt{1}=1$ et $f(4)=\sqrt{4}=2$.
Soit $\tau_1$ le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$.
$\tau_1=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac{1}{4}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$ est égal à $\dfrac{1}{4}$.

b) 1  et   9:
$f(1)=1$ et $f(9)=\sqrt{9}=3$.
Soit $\tau_2$ le taux de variation de $f$ entre $1$ et $9$.
$\tau_2=\dfrac{f(9)-f(1)}{9-1}=\dfrac{3-1}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $1$ et $9$ est égal à $\dfrac{1}{4}$.

c) 4   et   9:
$f(4)=2$ et $f(9)=3$.
Soit $\tau_3$ le taux de variation de $f$ entre $4$ et $9$.
$\tau_3=\dfrac{f(9)-f(4)}{9-4}=\dfrac{3-2}{5}=\dfrac{1}{5}$.
D’où le taux de variation de $f$ entre $9$ et $4$ est égal à $\dfrac{1}{5}$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:  $f(x)=3x^2$.

1.  Exprimons $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ en fonction de $h$.
   \begin{align*}
   f(2+h)&=3(2+h)^2\\
   &=3(4+4h+h^2)\\
   &=12+12h+3h^2\\
   &\\
   f(2)&=3(2)^2\\
   &=12
   \end{align*}
   \begin{align*}
   \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=\dfrac{12+12h+3h^2-12}{h}\\
   &=\dfrac{12h+3h^2}{h}\\
   &=12+3h
   \end{align*}
   D’où $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12+3h$
2. Justifie que la fonction $f$ est dérivable en $2$.
   On a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(12+3h)=12$.
   Cette limite étant finie on conclut donc que la fonction $f$ est bien dérivable en $2$.
3. Déduisons la valeur du nombre dérivé de $f$ en 2.
   De ce qui précède, on a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12$.
   D’où le nombre dérivé de $f$ en $2$ est $12$ ou encore $f'(2)=12$.

1. Déterminons le taux de variation de la fonction $f(x)=3x^2-2$ entre 3 et 3 + $h$.
   Le taux de variation $\tau (h)$ de $f$ entre 3 et 3 + $h$ est donné par
   $\tau(h) =\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
   \begin{align*}
   f(3+h)&=3(3+h)^2-2\\
   &=3(9+6h+h^2)-2\\
   &=27+18h+3h^2-2\\
   &=25+18h+3h^2\\
   & \\
   f(3)&= 3(3)^2-2\\
   &=3\times 9-2\\
   &=25
   \end{align*}
   Donc on a:
   \begin{align*}
   \tau(h)&=\dfrac{25+18h+3h^2-25}{h}\\
   &=\dfrac{18h+3h^2}{h}\\
   \tau(h)&=18+3h
   \end{align*}
   D’où $\tau(h)=18+3h$
2. Déduisons la valeur de $f'(3)$.
   On a: $f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\tau (h)$
   Or de ce qui précède, $\tau(h)=18+3h$ et $\lim\limits_{h\to 0} 18+3h=18$
   D’où $f'(3)=18$

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{2\}$ par: $f(x)=\dfrac{2}{x-2}$.
Soit $h$ un réel non nul.

1.  Montrons que $\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\dfrac{2}{-9+3h}$.
   \begin{align*}
   f(-1+h)&=\dfrac{2}{-1+h-2}\\
   &=\dfrac{2}{-3+h}\\
   &\\
   f(-1)&=\dfrac{2}{-1-2}\\
   &=-\dfrac{2}{3}
   \end{align*}
   \begin{align*}
   \dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}&=\dfrac{\dfrac{2}{-3+h}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}{h}\\
   &=\dfrac{\dfrac{2}{-3+h}+\dfrac{2}{3}}{h}\\
   &=\dfrac{\dfrac{2\times 3+2(-3+h)}{3(-3+h)}}{h}\\
   &=\dfrac{6-6+2h}{3h(-3+h)}\\
   &=\dfrac{2}{3(-3+h)}\\
   &=\dfrac{2}{-9+3h}
   \end{align*}
   D’où le résultat.
2. Montrons que $f$ est dérivable en $-1$.
   On a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2}{-9+3h}=-\dfrac{2}{9}$.
   Cette limite étant finie, on conlut donc que la fonction $f$ est bien dérivable en $-1$.
3. Déduisons $f'(-1)$.
   De ce qui précède, on a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-\dfrac{2}{9}$.
   D’où $f'(-1)=-\dfrac{2}{9}$.

Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $g(x)=3x^2-2x+5.$

1. Déterminons le taux de variation $\tau (h)$ de $g$ entre 1 et $1+h$ où $h$ est un réel non nul.
   Le taux de variation $\tau (h)$ de $g$ entre 1 et $1+h$ est donné par
   $\tau(h) =\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h}$
   $g(1+h)=3(1+h)^2-2(1+h)+5
                =3(1+2h+h^2)-2-2h+5
                =3+6h+3h^2-2h+3$
   $g(1+h)=3h^2+4h+6$
   $g(1)=3\times 1^2-2\times 1+5$
   $g(1)=6$
   Donc on a : $\tau(h)=\dfrac{3h^2+4h+6-6}{h}=3h+4$
   D’où $\tau(h)=3h+4$
2. Calculons la limite de $\tau(h)$ quand $h$ tends vers $0$ et déduisons la valeur de $g'(1)$.
   $\lim\limits_{h\to 0}(3h+4)=4$
   D’où $\lim\limits_{h\to 0}\tau(h)=4$
   De ce qui précède, on a $\lim\limits_{h\to 0}\tau(h)=4$ donc $g'(1)=4$

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:  $f(x)=3x^2$.

1.  Exprimons $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$ en fonction de $h$.
   \begin{align*}
   f(2+h)&=3(2+h)^2\\
   &=3(4+4h+h^2)\\
   &=12+12h+3h^2\\
   &\\
   f(2)&=3(2)^2\\
   &=12
   \end{align*}
   \begin{align*}
   \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=\dfrac{12+12h+3h^2-12}{h}\\
   &=\dfrac{12h+3h^2}{h}\\
   &=12+3h
   \end{align*}
   D’où $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12+3h$
2. Justifie que la fonction $f$ est dérivable en $2$.
   On a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(12+3h)=12$.
   Cette limite étant finie on conclut donc que la fonction $f$ est bien dérivable en $2$.
3. Déduisons la valeur du nombre dérivé de $f$ en 2.
   De ce qui précède, on a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=12$.
   D’où le nombre dérivé de $f$ en $2$ est $12$ ou encore $f'(2)=12$.

1. Déterminons le taux de variation de la fonction $f(x)=3x^2-2$ entre 3 et 3 + $h$.
   Le taux de variation $\tau (h)$ de $f$ entre 3 et 3 + $h$ est donné par
   $\tau(h) =\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
   \begin{align*}
   f(3+h)&=3(3+h)^2-2\\
   &=3(9+6h+h^2)-2\\
   &=27+18h+3h^2-2\\
   &=25+18h+3h^2\\
   & \\
   f(3)&= 3(3)^2-2\\
   &=3\times 9-2\\
   &=25
   \end{align*}
   Donc on a:
   \begin{align*}
   \tau(h)&=\dfrac{25+18h+3h^2-25}{h}\\
   &=\dfrac{18h+3h^2}{h}\\
   \tau(h)&=18+3h
   \end{align*}
   D’où $\tau(h)=18+3h$
2. Déduisons la valeur de $f'(3)$.
   On a: $f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\tau (h)$
   Or de ce qui précède, $\tau(h)=18+3h$ et $\lim\limits_{h\to 0} 18+3h=18$
   D’où $f'(3)=18$

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash \{2\}$ par: $f(x)=\dfrac{2}{x-2}$.
Soit $h$ un réel non nul.

1.  Montrons que $\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\dfrac{2}{-9+3h}$.
   \begin{align*}
   f(-1+h)&=\dfrac{2}{-1+h-2}\\
   &=\dfrac{2}{-3+h}\\
   &\\
   f(-1)&=\dfrac{2}{-1-2}\\
   &=-\dfrac{2}{3}
   \end{align*}
   \begin{align*}
   \dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}&=\dfrac{\dfrac{2}{-3+h}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}{h}\\
   &=\dfrac{\dfrac{2}{-3+h}+\dfrac{2}{3}}{h}\\
   &=\dfrac{\dfrac{2\times 3+2(-3+h)}{3(-3+h)}}{h}\\
   &=\dfrac{6-6+2h}{3h(-3+h)}\\
   &=\dfrac{2}{3(-3+h)}\\
   &=\dfrac{2}{-9+3h}
   \end{align*}
   D’où le résultat.
2. Montrons que $f$ est dérivable en $-1$.
   On a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2}{-9+3h}=-\dfrac{2}{9}$.
   Cette limite étant finie, on conlut donc que la fonction $f$ est bien dérivable en $-1$.
3. Déduisons $f'(-1)$.
   De ce qui précède, on a : $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-\dfrac{2}{9}$.
   D’où $f'(-1)=-\dfrac{2}{9}$.

Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $g(x)=3x^2-2x+5.$

1. Déterminons le taux de variation $\tau (h)$ de $g$ entre 1 et $1+h$ où $h$ est un réel non nul.
   Le taux de variation $\tau (h)$ de $g$ entre 1 et $1+h$ est donné par
   $\tau(h) =\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h}$
   $g(1+h)=3(1+h)^2-2(1+h)+5
                =3(1+2h+h^2)-2-2h+5
                =3+6h+3h^2-2h+3$
   $g(1+h)=3h^2+4h+6$
   $g(1)=3\times 1^2-2\times 1+5$
   $g(1)=6$
   Donc on a : $\tau(h)=\dfrac{3h^2+4h+6-6}{h}=3h+4$
   D’où $\tau(h)=3h+4$
2. Calculons la limite de $\tau(h)$ quand $h$ tends vers $0$ et déduisons la valeur de $g'(1)$.
   $\lim\limits_{h\to 0}(3h+4)=4$
   D’où $\lim\limits_{h\to 0}\tau(h)=4$
   De ce qui précède, on a $\lim\limits_{h\to 0}\tau(h)=4$ donc $g'(1)=4$